260. Mezzo chiuso e mezzo aperto

Pubblicato per la prima volta nel 1971 da Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, è un'introduzione alle diverse concezioni del numero e alle diverse forme di calcolo numerico.

Nel libro sono riportate anche 19 appendici. Ne riporto 2 particolarmente stimolanti. Nell’introduzione dell’autore si può leggere: “Per comprendere la matematica occorre far funzionare il cervello, e questo costa sempre un certo sforzo.”

-       Una porta mezza-chiusa non è una porta mezza-aperta

(Quando un movimento può essere compiuto in due sensi, o «versi» opposti, occorre misurare gli spostamenti con numeri positivi e negativi, se si vogliono evitare errori e assurdità.)

«Dimostriamo» che: chiuso = aperto.

Infatti: una porta mezza-chiusaè la stessa cosa di una porta mezza-aperta.

Perciò:

mezzo-chiuso = mezzo-aperto

raddoppiando:

chiuso = aperto.

Dove sta l'errore? Chiuso è l'opposto di aperto, e mezzo-chiuso è l'opposto di mezzo-aperto. Infatti, il movimento di aprire (una porta) consiste nel farla ruotare di un angolo retto attorno ai suoi cardini in un dato senso, mentre per chiudere la stessa porta bisogna farla ruotare del medesimo angolo, ma nel senso opposto, e perciò le rotazioni necessarie per chiudere a metà, e per aprire a metà, sono uguali come ampiezza, ma hanno segno opposto: 

1/2 chiuso = - (1/2 aperto)

e quindi:

chiuso = - (aperto)

 al posto del segno “meno” si può anche leggere: “opposto di …”.

-       Uno è uguale a due, ovvero l'operazione proibita

Il calcolo letterale è una «macchinetta» preziosa, ma qualche volta può scoppiare in mano a chi la maneggia con poca attenzione. Allora ..., attenzione: dimostreremo che uno è uguale a due. 

Supponiamo che sia a = b; perciò, moltiplicando per a da tutt'e due le parti:

a² = ab

togliendo dalle due parti (da tutt'e due i membri dell'uguaglianza), la stessa quantità, b²

a² - b² = a * b – b²

Ma, per una nota regola di calcolo che del resto sì verifica senza difficoltà, la differenza dei quadrati di due numeri è uguale alla loro somma moltiplicata per la loro differenza; perciò: 

a² - b² = (a * b) (a – b) = b (a - b)

Infatti, «mettendo in evidenza» b; a * b - b² = b (a - b). Ora, nell'uguaglianza: 

(a + b) (a – b) = b (a – b),

parrebbe permesso dividere per a - bil primo e il secondo membro; quindi: 

a + b = b

Quest’ultimo esempio è preso dal libro di Paul J. Nahin - In Pursuit of Zeta-3

-       Uno è uguale a un mezzo

La nota serie ottenuta dalla serie armonica riscritta con segni alterni converge a ln(2).

Nel 1837 il matematico tedesco Bernhard Riemann osservò che i termini di una serie armonica con segni alterni può sempre essere riarrangiata per convergere ad ogni valore, positivo o negativo, desiderato.

Riemann series theorem - Wikipedia