Questo post cercherà di chiarire la relazione tra gravitazione e curvatura nell’ambito della Relatività Generale, senza fare riferimento esplicito alle formule di questa teoria, ma considerando solo le traiettorie dei vari oggetti e alcune semplici calcoli geometrici.
Niente sembra più affascinante di una tale relazione e anche Riemann, che il 10 giugno 1854 (all’età di 28 anni), riuscì a fornire l’apparato matematico necessario, malgrado gli sforzi, non trovò una soluzione a quanto cercava, e la ragione principale è che Riemann cercava una relazione con la curvatura dello spazioe non dello spazio-tempo.
Per questo passaggio si dovette aspettare mezzo secolo.
D’altro canto se si confrontano le traiettorie di diversi oggetti (come fatto da Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler nel Gravitation) si fa fatica a trovare una semplice legge fisica basata sulla curvatura.
Nell’esempio si mettono a confronto le traiettorie di una palla che raggiunge l’altezza di 5 metri e ritorna a terra dopo 10 metri, con quella di una pallottola che si alza per solo mezzo millimetro (5 x 10-4 metri) e ha la stessa gittata di 10 metri.
Ovviamente nell’ordinario spaziotridimensionale, le curvature delle traiettorie sono molto differenti.
Per eseguire il calcolo nello spazio-temposi deve prima di tutto considerare che lo spazio percorso è proporzionale alla velocità, mentre la proiezione della “distanza percorsa” dall’oggetto sull’asse temporale è pari a ct, cioè 300.000 km per ogni secondo trascorso. In pratica si puo generalizzare dicendo che:
lo spazio percorso è proporzionale alla quadri-velocità [ vx, vy, vz, c ]
Nel nostro caso la palla per arrivare al punto finale impiega 2 secondi, mentre la pallottola 1/50 di secondo.
Quindi la “distanza” percorsa nello spazio-tempo, che chiameremo gittata, è rispettivamente 600.000km e 6.000km (si possono trascurare i 10 metri della componente spaziale).
Il tutto è semplificato dal fatto che la componente temporale è enormemente dilatata rispetto alle 3 dello spazio ordinario.
Approssimando le traiettorie con archi di circonferenza e utilizzando il teorema di Pitagora si ha:
(raggio di curvatura)2= [(raggio di curvatura) – (altezza)]2+ (gittata/2)2
sostituendo il raggio di curvatura con R e l’altezza con h:
R2 = ( R – h )2 + (gittata/2)2
e trascurando h2:
R = (gittata)2 / 8h
infine sostituendo i valori nei 2 casi:
R = ( c x 2 )2 / ( 8 x 5 ) = c2 x 0,1 = 9 x 1015 metri (palla)
R = ( c x 0,02 )2 / ( 8 x 0,0005 ) = c2 x 0,1= 9 x 1015metri (pallottola)
Questa distanza è poco meno di quella percorsa dalla luce in un anno (a.l.):
299.792.458 m/s x 365,25 g x 86.400 s/g ≈ 9,461 x 1015metri
Se si paragona il valore del raggio di curvatura ottenuto con il raggio della Terra all’equatore 6.378.388 metri, si capisce come sia realmente piccolo il valore della curvatura e questo potrebbe anche essere direttamente calcolato mediante la soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto.
La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura: circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore e viceversa.
La curvatura della circonferenza è definita come il reciproco del suo raggio R:
k = 1/R
La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla.
La curvatura della Terra è quindi: k = 1,57 x 10-7
mentre per palla e pallottola: k = 1,11 x 10-16
E’ comunque importante sottolineare come la curvatura delle traiettorie (geodetiche) dei vari corpi si discosti di una quantità infinitesima dalla linea retta.
http://digilander.libero.it/roberto20129/matematica/riemann.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/09/17/17-settembre-1826-buon-compleanno-bernhard/
http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/07/71-superfici-rigate.html