Rinunciando all’omogeneità delle facce, si ricavano i 13 solidi archimedei, con nomi più esotici dei solidi platonici (ad es. il dodecaedro camuso).
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Alcune loro semplici proprietà sono:
- le facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari i cui vertici sono omogenei, cioè le cuspidi intorno ai vertici sono tutte identiche (sono ottenibili una dall'altra tramite rotazione);
- gli spigoli di un poliedro archimedeo hanno tutti la stessa lunghezza.
Partendo dall'icosaedro e troncando le 12 cuspidi ad 1/3 della lunghezza dello spigolo, si ottiene l’icosaedro troncato.
Può capitare di trovare esempi di questo tipo di solido nei giochi per bambini sulle spiagge o più comunemente nei classici palloni da calcio.
L’icosaedro troncatoha 32 facce (divise in 20 esagoni e 12 pentagoni), 90 spigoli e 60 vertici, in ciascuno dei quali concorrono due esagoni e un pentagono.
I 20 esagoni derivano dai 20 triangoli (facce dell’icosaedro), mentre i 12 pentagoni sono ricavati dai 12 vertici dell’icosaedro (su ogni vertice insistono 5 facce).
Con semplici ragionamenti si possono anche ricavare il numero di spigoli e vertici.
I 13 solidi duali dei solidi archimedei sono detti poliedri di Catalan dal nome del matematico belga Eugène Charles Catalan.
Il pentacisdodecaedro può essere ottenuto incollando piramidi pentagonali su ognuna delle 12 facce del dodecaedro. È un poliedro non regolare, le cui 60 facce sono identici triangoli isosceli.
Una ulteriore generalizzazione si ottiene con i 92 solidi di Johnson.
