Nel post “29. Prodotti Infiniti: Wallis e Pippenger” si sono visti il prodotto di Wallis (ricavato nel 1655 da John Wallis) che permette di calcolare il valore di pi greco con il semplice prodotto infinito:
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
Ora se raggruppiamo i termini a coppie in 2 modi differenti:
- prima moltiplichiamo tra di loro la seconda e la terza frazione, la quarta e la quinta, ecc.
- successivamente, la prima e la seconda, la terza e la quarta, ecc.otteniamo:
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Lasciando al primo membro il 2 e portando sulla destra dell’uguaglianza tutte le atre frazioni, abbiamo come risultato la formula che nel post citato veniva riportata senza dimostrazione:
Un altro modo per ottenere lo stesso risultatoè di utilizzare la coppia di formule fornita da D.W.Cantrell nel 2006 (qui riporto solo quella per k pari) che permettono di ottenere il valore del prodotto infinito:
Come caso particolare (per n=2) si ottiene ancora la formula precedente:
Vedi formula (21) nel sito Wolfram Math World :
Dove si può trovare un ampio elenco di prodotti infiniti.