Il mio amico G. vedendo il disegno della pianta di Castel del Monte ha pensato ad una struttura frattale.
Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) introdusse la parola frattale nel 1975 per descrivere qualsiasi forma che continui ad avere una struttura “intricata” per quanto la si ingrandisca.
Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetiainterna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.
Definizione più criptica: un frattale è un oggetto la cui dimensione frattaleè maggiore di quella topologica.
E’ un oggetto “infinitamente complicato” e, per quanto venga ingrandito, non si riesce mai a ridurne la complessità. Molti frattali posseggono anche la particolare proprietà di essere auto-similari: al loro interno esistono repliche dell’oggetto considerato.
Il grado di complessità può essere rappresentato da un numero detto dimensione frattale.
Esistono due metodi per generare una struttura frattale:
il primo è ingrandire un oggetto unitario,il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale.
Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea D, e ingrandiamo la sua dimensione lineare di un fattore Lin ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a N = LDdi oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale.
La dimensione frattale è quindi definita da:
La curva di Kochè uno degli esempi più famosi di curva auto-similare e apparve per la prima volta in un documento del 1904 del matematico svedese Helge von Koch.
Si costruisce dividendo un segmento in tre parti uguali e sostituendo la parte centrale con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; l’algoritmo continua ripetendo questa sostituzione all’infinito per ogni nuovo segmento generato.
Ad ogni passaggio la lunghezza aumenta di un terzo (rapporto 4/3); facendo tendere il numero dei passaggi all’infinito anche la lunghezza diverge e, se vogliamo trovare una metrica per “misurare” i vari frattali, dobbiamo trovare nuove definizioni.
Nella figura si possono vedere i primi passaggi per costruire la curva:
La dimensione della Curva di Koch (come anche della Polvere di Cantor) è:
log(4) / log(3) = 1.2619
Ci sono decine di modi per definire la dimensione di un frattale. Quella più usata dai matematici è la definizione data nel 1918 da Felix Hausdorff.
I frattali non sono necessariamente curve, ma possono essere anche superfici o solidi molto “intricati”.
La dimensione frattale delle vere coste è vicina a 1,25 (simile a quella della curva di Koch).
Torniamo ora a Castel del monte. Per semplificare il calcolo consideriamo un castello a pianta quadrata con torri quadrate; questo tipo di frattale “Boundary of theT-Square fractal” potete trovarlo nel lungo elenco:
I passaggi principali per costruire il T-Squaresono:
1 – Partiamo con un quadrato di lato 2 x 2 (di perimetro 8)
2 – Raddoppiamo il lato e aggiungiamo la struttura precedente ai 4 angoli
nota: ¼ di ogni torre si sovrappone alla nuova struttura
3 – Continuiamo a raddoppiare la struttura centrale aggiungendo ogni volta 4 strutture precedenti come torri.
La lunghezza del perimetro al primo passaggio passa da 8 a 32, poi a 112 e di seguito a 368, 1.168, 3.632, 11.152, 33.968, 102.928, 310.832, 936.592, 2.817.968, 8.470.288, 25.443.632, 76.396.432, ...
Per un numero di passaggi sempre maggiore, il rapporto tra due valori consecutivi ad ogni raddoppio tende a 3.
Quindi, per calcolare la dimensione frattale, basta calcolare il rapporto tra i logaritmi:
D = log(3) / log(2) = 1.5849
Per chi fosse interessato ad approfondire l’argomento, è interessante notare che il Triangolo di Sierpinski ha la stessa dimensione del Contorno di un frattale T-square.
http://myweb.lmu.edu/bmellor/courses/Symmetry/FractalDimension-Spring2013.pdf
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/08/01/geometric-lsystems/
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/08/01/geometric-lsystems/