Da Treccani.it– L’Enciclopedia Italiana
Chiaramente Qè contenuto in R e i numeri di R \ Q (cioè Reali ma non appartenenti a Q) si dicono irrazionali.
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irrazionaleagg. [dal lat. irrationalis, comp. di in-2 e rationalis «razionale»]. –
a. Nel linguaggio comune, non dotato di ragione: gli esseri, le creature i.; non conforme a ragione, che non procede o non è dettato da ragione... In particolare, non fondato su ragionamenti validi, non dettato da ragioni logicamente dedotte, e quindi, spesso, illogico: conseguenza, deduzione i.; metodo, sistema irrazionale.
b. Nel linguaggio filosofico, di tutto ciò che non possa essere penetrato, dimostrato o giustificato dalla forza logica del pensiero, o sia comunque estraneo all’attività razionale del pensiero; …
c. In matematica (con sign. che si rifà al gr. ἄλογος, esatto corrispondente del lat. irrationalis), numero i. (o irrazionale s. m.), un numero reale che non può esprimersi come rapporto (lat. ratio) tra due numeri interi primi fra loro; si tratta di un numero decimale illimitato non periodico (cioè con infinite cifre decimali non succedentisi con regolarità), che spesso esprime il rapporto fra due grandezze incommensurabili. In partic., dal punto di vista aritmetico:
numero i. algebrico, che è radice di equazioni algebriche a coefficienti interi (per es. la radice dell’equazione x2− 2 = 0);
numero i. trascendente, numero irrazionale che non è radice di nessuna di tali equazioni (per es. π, rapporto tra la circonferenza e il suo diametro).
Chiaramente Qè contenuto in R e i numeri di R \ Q (cioè Reali ma non appartenenti a Q) si dicono irrazionali.
Quando si parla di irrazionali, però, ci si limita a quelli maggiormente conosciuti, come le radici delle equazioni algebriche oppure numeri come π, Ф o e.
usato per indicare il limite (finito), per n → ∞, della successione:
(1 + 1/n)n
Viene approssimato con: 2,7182818284590452353602874713527...
e viene usato come base del logaritmo naturale: loge(x) := ln(x), cioè ln(e) = 1;
La funzione esponenziale ƒ(x) = ex ha la seguente importante proprietà:
ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...
ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.
Come detto in precedenza, e non può essere rappresentato come rapporto tra numeri interi, ma esistono diversi modi di esprimerlo in forme semplici che possono apparire molto “razionali”.
Ad esempio come somma della serie:
Un altro approccio si ottiene mediante l’utilizzo delle frazioni continue, come effettuato da Eulero nel suo magistrale:
De fractionibus continuis dissertatio
che può essere visionato nella libreria digitale dedicata al lavoro e alla vita di Leonardo Eulero (1707-1783) The Euler archive
In matematica, una frazione continua è un'espressione quale:
dove a0è un intero e tutti gli altri numeri ansono interi positivi. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante viene chiamata frazione continua generalizzata. Per evitare confusioni una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata frazione continua semplice.
La frazione continua precedente può anche essere rappresentata come:
[ a0 ; a1, a2, a3, a4, … ]
oppure
Ad esempio la frazione continua di e in due differenti rappresentazioni:
Altri sviluppi notevoli sono:
Ed infine, la notevole semplice regolarita’ che si trova tra le molte frazioni continue trovate da Eulero:
