L’estrazione della radice quadrata o il logaritmo di un numero negativo, come anche trovare un angolo il cui coseno sia ad esempio uguale a 2, è impossibile restando nell’ambito dei numeri reali, ma ampliando al campo dei numeri complessi si riesce ad ottenere un risultato.
Un numero complessoè della forma a + i b (con aparte reale e ibparte immaginaria). Dove i (unità immaginaria) è definita come: i2 = -1.
Nel XVI secolo Girolamo Cardano(1501-1576) e in seguito Rafael Bombelli(1526-1572) utilizzarono i numeri fittizi per le soluzioni di equazioni di terzo e quarto grado.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso
Nel post: “14. Potenze Complesse”, sono state riportate le parole di Roger Penrose per ricordare comei i “la cosa più immaginaria che si potesse ottenere” sia tuttavia un numero reale.
i i = 0.2078795763507619…E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i ?
Per ricavare il valore di ( i i)i bastano pochi semplici passaggi:
(0.20787957…)i = ( i i )i = i i x i = i -1 = 1 / i = - i
cioè siamo tornati al valore iniziale icambiato di segno.
L’angolo (espresso in radianti) il cui coseno ha il valore 2 è 1,3169579i.
Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:
sin (i) = 1.1752012i arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806 arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403 arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i arctanh (i) = 0.7854i
csc (i) = -0.8509i arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481 arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508 arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i arccoth (i) = -0.7854i
sinh (i) = 0.8415i arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806 arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403 arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i arctanh (i) = 0.7854i
csc (i) = -0.8509i arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481 arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508 arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i arccoth (i) = -0.7854i
ln (-1) = 3.1415927i = (Pi)i (*)
ln (i) = 1.5707963i = (Pi/2)i
log (i) = 0.68218818i
i^e = -0.42821977 - 0.90367462i
e^i = 0.54030231 + 0.84147098i
i^(Pi) = 0.22058404 - 0.97536797i
(Pi)^i = 0.41329212 + 0.91059841i
(*) Per chi non l’avesse riconosciuta, l’equazione contenente il ln(-1) è ancora l'Identità di Eulero:
e iπ = -1
I numeri complessi si possono trovare nel teorema dei numeri primi e nella collegata ipotesi di Riemann.
Alcuni frattali sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'insieme di Mandelbrot e l'insieme di Julia.
Alcuni frattali sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'insieme di Mandelbrot e l'insieme di Julia.
In meccanica quantistica il campo dei numeri complessi è una componente essenziale, dato che la teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da C.
L'unità immaginaria compare anche nell'equazione di Schrödinger e nell'equazione di Dirac.
L'unità immaginaria compare anche nell'equazione di Schrödinger e nell'equazione di Dirac.
In relatività generale e relatività speciale alcune formule dello spazio metrico diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.
I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che consente di scomporre un generico segnale in una somma di infinite sinusoidi.
Calcolatrice x numeri complessi: http://www.calcinator.com/scicalc.html
Per approfondire si possono consultare i link di Wikipedia:
- Formula di De Moivre
- Identità di Eulero
- Piano complesso
- Radice dell'unità
- Rappresentazione dei numeri complessi
- Storia dei numeri complessi
- Teorema fondamentale dell'algebra
- Leonhard Euler
- Caspar Wessel
- Jean-Robert Argand
- Carl Friedrich Gauss
Abstract - Complex numbers