Zibaldone Scientifico

In una notte limpida e serena, senza illuminazione pubblica e con una vista perfetta, anche se si ha l’impressione di poter vedere un’infinita’ di stelle, il numero reale che si riesce a distinguerne e’ dell’ordine di 3000.

Il termine trasparenzaviene utilizzato dagli astronomi per indicare la condizione di visibilità del cielo in un determinato momento. Essa varia secondo le condizioni dell'atmosfera e del luogo da cui si osserva. In una notte con ottime condizioni atmosferiche un osservatore con una vista perfetta può osservare stelle di magnitudine 6,5 o inferiore (cioè più luminose, perché più un oggetto e’ debole più la sua magnitudine e’ alta). Come limiti estremi si possono considerare le magnitudini: del Sole (mag. app. -26,8 ) e degli oggetti più deboli osservabili col Telescopio Spaziale Hubble (mag. app. +30 ).
V509 Cassiopeiae (V509 Cas), avente magnitudine apparente di 5,1 e situata nella costellazione di Cassiopea, e’ una delle stelle più lontane che possiamo osservare e dista circa 7.800 anni luce dalla Terra.

Il diametro della Via Lattea (la nostra galassia) è stimato essere 100.000 anni luce e per raggiungere il centro galattico, situato nella costellazione del Sagittario, si dovrebbe percorrere la distanza di 27.000 anni luce.

Solo 6000 delle 200.000.000.000 di stelle stimate sono quindi visibili a occhio nudo e sono contenute all’interno del piccolo cerchio rosso centrato sulla posizione del Sole.

Ovviamente la galassia riportata in figura è solo una rappresentazione grafica della Via Lattea, poiché non è possibile allontanarsi a sufficienza per poter fotografare integralmente la struttura a forma di spirale barrata. Possiamo però fotografare galassie simili come Andromeda.

Galassia di Andromeda

http://en.wikipedia.org/wiki/Naked_eye

Grazie al Circolo Astrofili di Trezzano s/n per i suggerimenti.

Abstract - What’s the farthest distance a star visible to the naked eye can still be seen?

Michael e Cary Huang hanno realizzato la straordinaria animazione "The scale of the universe 2" che consente di avere una visione di insieme delle dimensioni relative al mondo in cui viviamo, dalla lunghezza di Planck (10^-35m) alla dimensione stimata dell'Universo (9,3 x 10²⁶m).

“The scale of the universe 2” consente di navigare interattivamente, grazie all’utilizzo di un cursore con cui si può passare da una scala maggiore ad una minore e viceversa.
E’ quindi facile comprendere i passaggi di scala tra un oggetto e l'altro.

Una descrizione di quest’animazione si può trovare in Scientificando o direttamente al link:

http://htwins.net/scale2/

Visionando il video ci si rende conto che, ogni volta che si passa ad un ingrandimento maggiore, solo una parte infinitesima del volume e’ occupata.

Per esempio il raggio dell’atomo e’ dell’ordine di 10^-10 m (cioè un metro diviso per 10.000.000.000). Le dimensioni dei nuclei atomici sono 10^-4 volte più piccole (cioè diviso ulteriormente per diecimila) di quelle dell'atomo.

La proporzione tra il volume contenente materia e il restante spazio vuoto in un atomo è pari a 10^-12, in altre parole per il 99,9999999999% e’ il nulla.

41 – Lo Zen di Joshu - tratto da: 101 STORIE ZEN, ed. Adelphi

Joshu comiciò lo studio dello Zen quando aveva sessant’anni e continuò sino agli ottanta allorché realizzò lo Zen.

Insegnò dall’età’ di ottant’anni sino a quando raggiunse i centovent’anni.

Una volta uno studente gli domandò: “Se nella mia mente non c’e’ nulla, che cosa devo fare?”.

Joshu rispose: “Buttalo via”.

“Ma se non c’e’ nulla, come faccio a buttarlo via?” insistette l’allievo.

“Be’,” disse Joshu “allora attualo”.
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http://htwins.net/
http://zibalsc.blogspot.com/2011/02/40-atomi.html

Nel libro: “La mia autobiografia” Charles Chaplin cita diverse volte la famiglia Einstein. Una di queste racconta di quando, a Los Angeles, assistettero alla prima di Luci della città, facendosi largo nel corso gremito di gente per parecchi isolati.

Einstein e la seconda moglie Elsa iniziarono la loro relazione nel 1912 e si sposarono il 2 giugno 1919. Le loro madri erano sorelle, mentre i loro padri erano cugini ed Elsa alla nascita aveva anche lei lo stesso cognome: Elsa Einstein.

Los Angeles Theater, 30 Gennaio 1931

In un altro capitolo del libro Chaplin ricorda la nascita della Teoria della Relatività Generale, così come gli venne raccontata nel corso di una cena a casa sua:

“La prima volta che incontrai Einstein fu nel 1926, quando venne in California per una serie di conferenze. Io ho una teoria, secondo la quale scienziati e filosofi non sono che dei romantici idealisti che hanno incanalato le loro passioni in un’altra direzione. Questa teoria si adattava benissimo alla personalità di Einstein. Aveva l’aria del tipico tirolese, nel miglior senso della parola, affabile e giovanile. E benché i suoi modi fossero calmi e gentili, sentii che nascondevano un temperamento estremamente emotivo, e che era da questa fonte che proveniva la sua straordinaria energia intellettuale.

Fu Carl Laemmle degli studi Universal a telefonare per informarmi che il professor Einstein desiderava conoscermi. Rimasi elettrizzato. Ci trovammo dunque a pranzo nella sede della Universal, il professore, sua moglie, la sua segretaria Helene Dukas e il suo assistente Walter Meyer. La signora Einstein parlava un ottimo inglese, assai migliore di quello del marito.

Dopo pranzo la signora Einstein mi tirò in disparte e sussurrò: - Perché non invita il professore a casa sua? So che gli piacerebbe moltissimo scambiare quattro chiacchiere in santa pace, tra noi. –

Dato che la signora Einstein mi aveva pregato di non fare le cose in grande, invitai solo altri due amici. A cena ella mi raccontò la storia del mattino in cui suo marito aveva concepito la teoria della relatività. Disse che il dottore era sceso in vestaglia, come sempre, ma aveva appena toccato colazione. – Capii subito che qualcosa bolliva in pentola e gli chiesi quale problema fosse a tormentarlo. «Cara» disse lui «Ho un’idea formidabile, un’idea fantastica! » «Allora per l’amor del cielo, dimmi di che si tratta» dissi io «Non tenermi così in sospeso.»

«E’ difficile» disse lui «La devo ancora sviluppare.» -

Mi disse che continuò a suonare il piano e a prendere appunti per circa mezz’ora, poi salì nel suo studio, informandola che non voleva essere disturbato, e vi rimase due settimane.

«Tutti i giorni gli mandavo su i pasti» disse « e la sera faceva una passeggiata igienica e poi tornava al suo lavoro.»

«Finalmente» disse, uscì dallo studio: era pallidissimo. «Ecco qua» disse stancamente posando sul tavolo due fogli di carta. E quella era la teoria della relatività.”

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_family
http://www.cosediscienza.it/fisica/10_einstein.htm

In questi mesi il Sole sta attraversando una fase di forte attività’.

Si sono verificate enormi eruzioni solari, che hanno prodotto violente espulsioni di materia solare dalla corona in direzione della Terra. Il vento solare generato può creare spettacolari aurore polari e interferenze nei sistemi di comunicazione terrestre.
Per rendersi conto delle dimensioni in gioco si può considerare l’esempio mostrato nel
sito della Nasa: http://sunearthday.nasa.gov/2007/materials/solar_pizza.pdf

Come indicato, il diametro terrestre e’ contenuto circa 109 volte in quello solare, mentre il diametro dell’orbita lunare e’ contenuto un paio di volte circa (laTerra e' posizionata nel rettangolo tratteggiato in alto a destra).

L’esercizio proposto nel sito della NASA consiste in questo: dopo aver ritagliato la sagoma del Sole e il rettangolino contenente la Terra, una persona prende il Sole, mentre l’altra, posizionata a 20 metri di distanza, la Terra.

Con una scala di 1:7.500.000.000, questo rappresenta l’orbita della Terra intorno al Sole.

Nel video successivo, che si può trovare nel sito THE WATCHERS, i filamenti magnetici si estendono sino ad una distanza di decine di raggi solari (il Sole e’ rappresentato dal piccolo cerchio bianco).

http://thewatchers.adorraeli.com/

http://sunearthday.nasa.gov/2012/

Abstract - Powerful Solar eruption

La carica e’ una quantità fisica fondamentale di una particella che ne determina la partecipazione in un processo di interazione.

La carica elettrica e’ responsabile dell’interazione elettromagnetica, la carica di colore (o carica forte) dell’interazione forte, ecc. Quark e gluoni hanno carica di colore e conseguentemente partecipano all'interazione forte. Esistono tre cariche di “colore” diverse (rossa, verde e blu) e tre cariche di "anticolore" (antirossa, antiverde e antiblu).

Emmy Noether dimostrò che se un sistema fisico è invariante sotto alcuni gruppi di trasformazioni continue, allora da ciascuna proprietà di simmetria segue la conservazione di una quantità fisica del sistema.

Teorema di Noether:

“Per ogni simmetria continua a N parametri esitono N grandezze conservate"

La conservazione della carica deriva dall'invarianza sotto trasformazioni di fase del gruppo U(1)definite da:

y(x) ® y’(x) = eⁱ^ay(x)

In pratica questa sostituzione lascia invariate le equazioni, come puo’ essere verificato negli appunti per il corso di Fisica Nucleare (INFN) di Fiorenzo Bastianelli:

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/simmetrie-fns-11.pdf

Le teorie che utilizzano questo tipo di formalismo prendono il nome di Teorie di Gauge.
Una chiara esposizione viene fornita da Diego Bettoni (INFN):

http://www.fe.infn.it/~bettoni/particelle/Lezione3.pdf

Le forze elettromagneticheagiscono sulla carica elettrica trasportata da qualsiasi particella carica, la cui unità di misura è la carica dell'elettrone. Nata con le leggi dell'elettromagnetismo e passata attraverso la scoperta dei quanti, da gran tempo è noto che due cariche elettriche si attirano o si respingono secondo il quadrato della distanza che le separa.

Un elettrone che subisce un rallentamento o un'accelerazione si trasforma in un elettrone più un fotone, che può essere l’emissione di luce da un atomo o di un'onda radio da un'antenna.

L'elettrone può emettere il fotone solo in presenza di un'altra particella carica.

Nell’interazione elettromagnetica il fotone viene emesso ed assorbito anche se

l'energia non è conservata durante il breve istante del processo virtuale

e nell'elettrodinamica quantistica sarà rappresentata da uno scambio di tali fotoni. Nell'accoppiamento elettromagnetico le cariche sono conservate dato che alla fine della reazione vi è altrettanta elettricità che all'inizio. La carica elettrica si comporta quindi come una corrente elettrica che passa da una particella all'altra senza aumentare né diminuire.

L’esperimento di Millikandimostrò che la carica elettrica è quantizzata, cioè può assumere soltanto dei valori che siano multipli interi dell’unità di carica elementare

e = 1,602×10^-19C (e = carica dell’elettrone):

Una spiegazione del motivo per cui le forze elettromagnetiche decrescono con il quadrato della distanza, può essere ricavato dalla relazione DE Dt »ħ

Se un elettrone emette un fotone virtuale di grande energia, esso può esistere solo per un tempo molto corto e può quindi esercitare una forza intensa solo su di un altro elettrone che gli passi vicino. D’altra parte un fotone virtualedi piccola energia può avere influenza, sebbene con intensità più debole, anche su distanze più grandi.

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/11-emmy-noether-simmetrie.html

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/

http://www-th.bo.infn.it/

http://www.fisicaparticelle.altervista.org/breve2.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Fotone

Abstract - Gauge Invariance and Charge Conservation.

Tra la prima e la seconda guerra d'indipendenza italiana, Giuseppe Garibaldi (1807–1882) si trasferì a New York dove passò alcuni anni di insolita tranquillità tra il 1851 e il 1853. Soggiornò in una casa di campagna sull'isola di Staten Island accanto alla quale fu costruita una fabbrica di candele da Antonio Meucci (1808-1889) l'inventore del telefono.

Garibaldi collaborò con Meucci alla lavorazione delle candele finché la nostalgia per il mare ebbe il sopravvento e accettò l'invito dell'amico Francesco Carpaneto di accompagnarlo nei suoi viaggi verso i porti dell'America Centrale.

Antonio Meucci era originario del rione di San Frediano a Firenze, figlio di un impiegato pubblico, studiò all’Accademia di Belle Arti, imparò i primi rudimenti di chimica e fisica. Dopo aver lavorato come daziere presso la Porta Romana fu assunto come assistente macchinista al Teatro della Pergola. Nel 1835 accettò l’offerta di un impresario catalano e s’imbarcò per Cuba con la moglie Ester, una costumista teatrale. Aveva deciso di trasferirsi all'estero per cambiare aria avendo aderito alle cospirazioni liberali e repubblicane. All’Avana acquistò fama e ricchezza grazie all’invenzione di marchingegni e dispositivi elettrici utilizzati al Gran Teatro dell'Avana dove divenne Sovrintendente tecnico.

Dopo 15 anni partirà per gli Stati Uniti dove vivrà momenti di grande difficoltà, come il 30 luglio 1871 nel caso dello scoppio di una caldaia del traghetto Westfieldin viaggio tra New York e Staten Island, che provocò la morte di un centinaio di persone e gravi ustioni a Meucci. A causa di questo incidente la moglie fu costretta a vendere tutte le attrezzature per pagare il loro mantenimento.

Rimarrà nella casa di Staten Island fino alla fine, lanciando invenzioni e imprese, che faranno sempre la fortuna di altri e mai la sua.

Anche se portava avanti i suoi studi sul telefono già da tempo, l'invenzione fu completata con un primo modello nel 1856:

«Consiste - scriveva Meucci in un appunto del 1857 - in un diaframma vibrante e in un magnete elettrizzato da un filo a spirale che lo avvolge. Vibrando, il diaframma altera la corrente del magnete. Queste alterazioni di corrente, trasmesse all'altro capo del filo, imprimono analoghe vibrazioni al diaframma ricevente e riproducono la parola».

L’invenzione del telefono venne attribuita per molti anni all’americano Alexander Graham Bell, perché Meucci non aveva i soldi per il deposito del brevetto, ma solo del caveat (una specie di pre-brevetto, da rinnovare ogni anno). Nel 1876, un anno dopo la scadenza dell’ultimo caveat di Meucci, Bell deposita il proprio brevetto.

Solo nel giugno 2002 il Congresso degli Stati Uniti ha riconosciuto ufficialmente il contributo di Meucci nell'invenzione del telefono.

Tra gli altri, viene ancora utilizzato il suo brevetto:

1873 - Condimento per pasta e altri cibi. In accordo con Roberto Merloni, General Manager della STAR di Agrate Brianza - Milano (US Patent No. 142,071).

Lo Staten Island Ferry (da e verso la città di New York) è ancora oggi un servizio gratuito per il traghetto di passeggeri (in ferryboat). Il viaggio, lungo circa 8 km, necessita di 25 minuti e permette di ammirare lo skyline di Manhattan o la statua della libertà.

Le tre fotografie sono state scattate la sera del primo ottobre 2010.

http://it.wikipedia.org/wiki/Staten_Island_Ferry

http://en.wikipedia.org/wiki/Garibaldi-Meucci_Museum

http://it.wikipedia.org/wiki/Antonio_Meucci
http://www.superquark.rai.it/dl/portali/site/puntata/ContentItem-572667ef-4bf7-4e04-bbc6-ca74e97a2619.html
http://it.wikipedia.org/wiki/La_concessione_del_telefono

Abstract - Meucci and the invention of the telephone
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David Volfovich Chudnovsky(1947) e Gregory Volfovich Chudnovsky(1952) sono cittadini americani nati a Kiev e residenti a New York dal 1977.

I fratelli Chudnovsky hanno stabilito in più riprese il primato per il calcolo di pi greco col maggior numero di decimali, raggiungendo due miliardi di cifre nei primi anni novanta con un supercomputer autocostruito nel loro appartamento di Manhattan, che chiamarono "m-zero".

Nel 1987 hanno sviluppato un algoritmo, basato su analoghe formule sviluppate dal matematico indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan, che permette di calcolare in modo molto efficiente un numero rilevante di cifre di pi greco:

Questa serie fornisce un incremento di accuratezza di 14 digit per ogni approssimazione successiva; cioe’ se ci si ferma al termine di ordine zero le prime 13 cifre decimali sono corrette, sommando anche l’elemento con k = 1 risultano corrette le prime 27 cifre e così via.

Il loro algoritmo viene ancora utilizzato per aumentare il numero di digit conosciuti e come mostrato in Wikipedia: Chronology of computation of π ,
il numero di cifre decimali calcolate raddoppia ogni 22,5 mesi.

Attualmente supera il valore di 10¹³(diecimila miliardi).

http://mathworld.wolfram.com/Pi.html
http://www.mathworks.com/tagteam/69878_cleves-corner-computing-pi-91954v00.pdf
http://www.pi314.net/eng/chudnovsky.php
http://zibalsc.blogspot.it/2011/06/65-numeri-normali.html

Abstract - Chudnovsky algorithm and the computation of Pi

“The complexity for minimum component costs has increased at a rate of roughly a factor of two per year.”

G.E. Moore, Elec. Mag., April 1965 (Moore’s Law)

Wikipedia riporta la prima legge di Moore con il seguente enunciato:

« Le prestazioni dei processori, e il numero di transistor ad esso relativo, raddoppiano ogni 18 mesi.»

Gordon Moore, cofondatore di Intel con Robert Noyce, all'epoca era a capo del settore R&D della Fairchild Semiconductor e tre anni dopo fondò l’Intel, scrisse un articolo su una rivista specializzata nel quale illustrava come nel periodo 1959-1965 il numero di componenti elettronici (ad esempio i transistor) che formano un chip fosse raddoppiato ogni anno.

Nel 1975 questa previsione si rivelò corretta e prima della fine del decennio i tempi si allungarono a 2 anni, periodo che rimarrà valido per tutti gli anni ottanta. La legge, che verrà estesa per tutti gli anni novanta e resterà valida fino ai nostri giorni, viene riformulata alla fine degli anni ottanta ed elaborata nella sua forma definitiva, ovvero che le prestazione dei processori raddoppiano ogni 18 mesi.

"Legge di Moore", Wikipedia, L'enciclopedia libera

Nel post precedente: 103. Chudnovsky brothers, si è visto che il numero di decimali calcolati per pi grecoraddoppia ogni 22,5 mesi, rivelando un andamento analogo alla Legge di Moore.

D.J.Paul, University of Cambridge 2006

http://www.sp.phy.cam.ac.uk/~SiGe/Moore's%20Law.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Moore

Abstract - Moore's law and the computation of Pi
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Il numero di elementi conosciuti sino al diciassettesimo secolo si limitava a 14.

Carbonio, Zolfo, Ferro, Rame, Argento, Stagno, Antimonio, Oro, Mercurio e Piombo, erano già conosciuti nell’antichità.

Nel brano tratto dal libro di Isaac Asimov (1920 – 1992) viene sottolineato come nel 1913 fossero rimasti sette elementi (dei primi 92) da scoprire, che vennero in seguito identificati colmando così la tavola periodica degli elementi ideata dal chimico russo Dmitrij Mendeleev (1834 – 1907) nel 1869, contemporaneamente ed indipendentemente dal chimico tedesco JuliusLothar Meyer (1830 - 1895).

“Masurio: nome (da quello dei Laghi Masuri nella Prussia Orientale) dato da W. Noddack e I. Tacke a un elemento chimico che essi nel 1925 credettero di individuare in alcuni minerali e al quale attribuirono il numero atomico 43.

Il riconoscimento non è stato, però, confermato; l’elemento di numero atomico 43, di cui è assai dubbia l’esistenza in natura, fu ottenuto da C. Perrier e da E. Segré nel 1937 per bombardamento del molibdeno con neutroni e fu chiamato masurio, o tecnezio.”

Treccani.it - Enciclopedie on line

“Nel 1913 erano già occupati da elementi noti tutti i numeri atomici da 1 a 92, tranne sette, i numeri atomici 43, 61, 72, 75, 85, 87 e 91.

Nel 1917 fu scoperto il protoattinio (numero atomico 91). Nel 1923 toccò all’afnio (n.a. 72) e nel 1925 al renio(n.a. 75).

Nella tavola periodica degli elementi rimasero così esattamente quattro spazi vuoti: 43, 61, 85 e 87. Sembrava che non restassero da scoprire che quattro elementi, ma i vuoti furono colmati soltanto negli anni ’30.

Nel 1937 l’inventore del ciclotrone, Lawrence, aveva bombardato con dei deutoni un campione di molibdeno (n.a. 42) e spedì a Segré, a Roma, il campione bombardato.

Dopo studi accurati, Segré scoprì che il campione conteneva tracce di una nuova sostanza radioattiva, che si rivelarono atomi dell’elemento di numero atomico 43. A quell’epoca l’elemento in questione non era ancora stato scoperto in natura e così venne chiamato tecnezio (o masurio, Ma), da una parola greca che significa “artificiale”.

Nel 1939 e 1940 furono scoperti gli elementi numero 87 (francio) e 85 (astato), mentre l’ultimo vuoto, quello dell’elemento numero 61 (prometeo) e’ stato colmato nel 1947. Tutti questi elementi sono radioattivi.

L’astato e il francio si ottengono dall’uranioin quantità minime, il che spiega come mai non siano stati scoperti prima. Il masurioe il prometeosi ottengono in quantità ancora minori, ed hanno la strana caratteristica di essere gli unici elementi di numero atomico inferiore all’84 che non hanno alcun isotopo stabile.”

Isaac Asimov - Breve storia della chimica - Zanichelli

Le caselle con sfondo bianco indicano elementi non ancora scoperti nel 1913.

The Origin of the Elements

http://www.ptable.com/

http://loveandbooks.blogspot.it/2010/01/isaac-asimov-breve-storia-della-chimica.html
http://www.treccani.it/enciclopedia/masurio_(Enciclopedia-Italiana)/
http://en.wikipedia.org/wiki/Element_discovery

Abstract - The chemical elements discoveries

In matematica una congettura è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente vera, ma non dimostrata (né confutata).

Wikipediariporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures

In particolare ai numeri primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.

I numeri primi sono infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulerolo ricavò dalla divergenza della

serie armonica: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…

Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi: 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…, che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di termini o come si usa dire in questi casi utilizzando il cosiddetto metodo del crivello.

Si definiscono numeri primi gemellile coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.

La congettura dei numeri primi gemelliè un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:

Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo.

Due numeri primi cugini sono una coppia di numeri primi che differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…; mentre i numeri primi sexy sono così chiamati dal fatto che "sex" in Latino significa "sei". Le prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...

Nel 1849 de Polignacenunciò una congetturapiù generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi gemelli.

Nel 1915 Viggo Brundimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora chiamata costante di Brun (B₂), la cui miglior stima ha un valore pari a 1,902160583104.

B₂ = (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...

Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergente, ciò implicherebbe una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi gemelli sia finito o infinito.

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

Ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbachper distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di Goldbach.

Se si costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi n_j, n_j+1, n_j+2, la seconda riga le differenze tra due primi consecutivi d_j = n_j+1– n_j, d_j+1 = n_j+2– n_j+1, e nelle righe successive le differenze tra i termini della riga precedente, si mette in evidenza la

congettura di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al valore di 10¹³.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

La congettura di Andricariguarda gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è stata formulata dal matematico romeno Dorin Andricanel 1986.

Questa congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi p_ne p_n+1, si ha:

__ _

Esempio: A₄ = √ 11 - √ 7 ≈ 0,670873

In altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi è sempre inferiore alla somma delle loro radici.

http://primes.utm.edu/notes/conjectures/

http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

Abstract - Andrica, Gilbreath,Goldbach and de Polignac's Conjectures

In astronomia il solstizio invernale è definito come il momento in cui il Sole raggiunge il punto di declinazione minima. Il fenomeno è dovuto all’inclinazione dell'asse di rotazione terrestre rispetto all'eclittica (percorso apparente che il Sole compie in un anno); il valore di declinazione raggiunta coincide con l'angolo d’inclinazione terrestre che attualmente è di 23°27'. Nel 2012 è stato il 21 Dicembre alle 11:11.

Solstizio Invernale

L'altezza, o elevazione, è la distanza angolare dall'orizzonte di un oggetto sulla sfera celeste e in occasione del solstizio invernale all'ora di pranzo il Sole raggiunge l’altezza minima.

A Milano (45°27′51″Nord, 9°11′25″Est; 122 m s.l.m.) il 21 Dicembre l’altezza all’ora del culmine del Sole (12:22) era di:

90° - 23°27' - 45°28' ≈ 21°

Con un semplice calcolo trigonometrico si vede che una persona che in questo periodo si trovasse a passeggiare a mezzogiorno in una giornata soleggiata, vedrebbe le ombre degli oggetti, posti in posizione verticale, allungarsi di 2,6 volte circa; ad esempio una persona alta 1 metro e 75 cm avrebbe un’ombra di 4,5 metri.

A Giugno (solstizio estivo) l'angolo d’inclinazione non deve essere sottratto, ma sommato; per cui l’altezza all’ora del culmine è circa 68°. In questo caso l’ombra sarebbe più corta dell’oggetto (0,4 volte)

A Roma (41°55′N) l’altezza all’ora del culmine del Sole è rispettivamente 24,6° e 71,5°, mentre a Catania (37°30′N) 29° e 76°.

Alcune interessanti simulazioni si possono trovare nel sito:

The Nebraska Astronomy Applet Project

Online Labs for Introductory Level Astronomy

alle pagine “Basic Coordinates and Seasons” e “Lunar Phase Simulator”:

http://astro.unl.edu/naap/

http://www.astrosurf.com/cosmoweb/cielo/coordinate.html
http://www.ilpaesedellemeridiane.com/simulatori/04noz/11lunghezzaOmbre.htm
http://www.marcomenichelli.it/sole.asp

Abstract - Winter Solstice

http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

In due precedenti post (30e 92) si è data una breve spiegazione del fatto che ogni anno alcune date, facili da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday). Questa regola è stata messa in evidenza dal prolifico matematico inglese John Horton Conway.

Il Doomsday di quest’anno sarà Giovedì*.

A partire da Aprile saranno cioè Giovedì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12,

- nei mesi dispari il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche: l’ultimo giorno di Febbraio (a prescindere dal fatto che sia bisestile o meno), i giorni 7, 14, 21 e 28 Marzo, Halloween, Ferragosto e il 25 Aprile.

Uno dei metodi per calcolare il Doomsdayè di sommare le ultime due cifre dell'anno al quoziente intero della loro divisione per 4; al risultato si deve sommare il coefficiente del secolo, che per il periodo dal 1900 al 1999 corrisponde a 3, mentre dal 2000 al 2099è 2.

Ad esempio per il 2013 si ottiene:

13+ int(13/4) + 2 = 13 + 3 + 2 = 18 (modulo 7) = 4 (Giovedì)

Mentre per il 1955:

55+ int(55/4) + 3 = 55 + 13 + 3 = 71 (modulo 7) = 1 (Lunedì)

Per il calendario Gregoriano il ciclo si ripete ogni 28 anni, inoltre, dati 2 anni non bisestili, ogni 11 anni si ripete lo stesso giorno. Per cui quest’anno si potrebbe riutilizzare il calendario del 2002 o del 1991.

* Nel 2014 sarà Venerdì e nel 2015 Sabato.

P.S. Anche il 26/12 compleanno di Conway e' il giorno del Doomsday.

http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2012/12/26/26-dicembre-1937-buon-compleanno-john/
http://zibalsc.blogspot.it/2012/01/92-doomsday-2012.html

Nel post: 44. Conie Bastoncelli si è visto come i recettori dei nostri occhi abbiano diverse funzioni in correlazione con l’intensità della radiazione:

- in condizioni di alta intensità la luce è percepita principalmente dai coni al centro della retina;

- in condizioni di bassa intensità la luce è percepita principalmente dai bastoncelli al bordo della retina.

I coni permettono la visione del colore (fotopica). Sono di tre tipi, sensibili alle lunghezze d'onda della luce: rossa, verde e blu.

I bastoncelli sono raggruppati da un circuito tra loro, il segnale che giunge al nervo ottico comprende quindi una superficie più ampia. In questo modo riescono a captare segnali luminosi di bassa intensità e ci permettono una discreta vista notturna (scotopica), per contro non distinguono i dettagli e danno una percezione acromatica.

Nella visione notturna è il nostro occhio a non percepire i colori, che in una notte al chiaro di luna rimangono gli stessi, poiché la forma dello spettro solare riflesso dalla superficie lunare rimane in pratica inalterato. La differenza sostanziale consiste nella differenza di flusso luminoso durante il giorno rispetto ad una notte di Lunapiena è di circa 30.000 volte superiore.

Un bell’esempio di fotografie notturne lo fornisce Valerio Zuffi (socio del Circolo Astrofili di Trezzano – CAT), dove solo la presenza delle stelle fa sorgere qualche dubbio, mentre per il resto possono sembrare scattate in una bella giornata di sole.

Canon EOS 7D

Obiettivi usati: Canon 15-85 (di norma a 15mm f/4) e 17-40 (a 17mm f/4), Samyang 8mm fisheye (f/3,5)
ISO: 800
Tempi: 20 sec per gli obiettivi zoom, 40 sec - 1 min. per il fisheye
Si è sempre usato il cavalletto.

Queste immagini ricordano una delle più belle opere di René Magritte: L’impero della luce (L’Empire des lumières), 1953–54, un olio su tela di notevoli dimensioni (195,4 x 131,2 cm), appartenente alla collezione Peggy Guggenheim di Venezia. In questo caso la situazione risulta però capovolta.

http://www.astrofilitrezzano.it/upload/profile.php?uid=6

http://www.astrobin.com/users/valerio.zuffi/
http://www.astrofilitrezzano.it/blog/in-una-notte-di-luna-piena.html

http://rene-magritte-paintings.blogspot.it/

Le normali Carte Geografiche (ad esempio Google Maps) sono basate sulla Proiezione di Mercatore (ipotizzando la Terra perfettamente sferica).

Il loro sviluppo e la loro utilità, deriva dal fatto che tutte le linee di costante angolo di rotta (linee lossodromiche— quelle che determinano un angolo costante con i meridiani) sono rappresentate su una mappa di Mercatore da segmenti rettilinei.

La proiezione di Mercatore rappresenta il passo più rilevante della cartografia nautica del XVI secolo. Nel 1569 Mercatore pubblicò un grande planisfero misurante 202x124 cm, stampato in diciotto diversi fogli. Come in ogni proiezione cilindrica, paralleli e meridiani sono rappresentati da linee rette perpendicolari tra loro. Realizzando questo, l'inevitabile distorsione est-ovest della mappa, che aumenta con la distanza dall'equatore, è accompagnata da un'identica distorsione nord-sud, tale che in ogni punto di posizione, la scala delle distanze est-ovest è la stessa della scala nord-sud, rendendo la proiezione conforme. Una mappa di Mercatore pertanto non può mai coprire pienamente le aree in prossimità dei poli, in quanto ivi la scala delle distanze assume valori infiniti. Essendo una proiezione conforme, gli angoli sono preservati a partire da ogni posizione, mentre la scala delle distanze varia da punto a punto, distorcendo la forma degli oggetti geografici. In particolare, le aree prossime ai poli ne sono più affette, rendendo un’immagine del pianeta tanto più distorta quanto più ci si avvicini ai poli.

Proiezione di Mercatore

Questa caratteristica di esagerare le dimensioni delle aree lontane dall'equatore, ha contribuito a creare errate convinzioni sulle reali dimensioni delle nazioni.

Esempi rilevanti sono:

- la Groenlandia (2.166.086 km²) è rappresenta con un'area equivalente a quella dell'intero territorio dell'Africa (30.221.000 km²), quando in realtà l'area di questa è circa 14 volte quella della Groenlandia. L’area dell’Africaè anche quasi doppia di quella della Russia (17.075.400 km²), mentre sembra esattamente il contrario;

- l'Alaska (1.717.854 km²) è rappresentata con un'area simile se non superiore a quella del Brasile (8.511.076 km²), quando l'area del Brasileè in realtà 5 volte quella dell'Alaska;

- la Finlandiaè rappresenta avente un'estensione nord-sud più grande di quella dell'India, quando nella realtà è vero il contrario;

- l’area totale dei Paesi Scandinavi: Norvegia(385.248 km²), Svezia (449.964 km²) e Finlandia (337.030 km²), sembra paragonabile con quella dell’Australia (7.617.930 km²), e l’area dell’Italia (301.340 km²) appare di molto inferiore a quella della Finlandia, mentre invece è di poco inferiore;

- infine l’area dell’Algeria (2.381.741 km²) è maggiore di quella della Groenlandia.

Esistono molti modi di realizzare una mappa. Per avere rappresentazioni con aree preservate (equal area map projection) si può utilizzare una delle proiezioni di Lambert (ad es. quella cilindrica).

Proiezione di Lambert

La maggior parte delle informazioni sono state estratte da Wikipedia ed in particolare:

http://en.wikipedia.org/wiki/Map_projection

http://www.arcetri.astro.it/~ranfagni/CD/CD_TESTI/PROIEZ.HTM
https://maps.google.it/
http://www.worldmapper.org/
http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjCyl/ProjCEA/projCEA.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2010/12/sfera-cono-cilindro.html

http://www.csiss.org/map-projections/index.html

Nella maggior parte delle carte attuali il Nord è in alto, il Sud in basso, l'Est a destra e l'Ovest a sinistra di chi guarda la carta, anche se storicamente abbiamo avuto carte orientate a EST (tutte quelle che privilegiavano il sorgere del Sole), oppure verso Sud (specialmente arabe e cinesi), raramente orientate a Ovest (molte carte nautiche, specie portoghesi). Non mancano, soprattutto tra XV e XVI secolo, atlanti dove ogni singola pagina è orientata verso un punto cardinale diverso. La convenzione di standardizzare l’orientamento della cartografia occidentale verso Nord si consolida lentamente tra il Seicento ed il Settecento e viene consacrato nell’Ottocento.

"Carta geografica" Wikipedia, L'enciclopedia libera. 1 gen 2013

La convenzione deriva anche dal fatto che i navigatori europei utilizzavano la bussola e la Stella Polare come riferimento, che come noto è una stella visibile ad occhio nudo e si trova approssimativamente allineata con l'asse di rotazione di un pianeta, indicandone uno dei poli celesti.

Nella navigazione astronomica, la sua posizione è un'indicatrice infallibile della direzione del polo nord geografico e la sua altezza angolare permette di determinare la latitudine. Per via del suo allineamento con l'asse di rotazione, la Stella Polare è percepita come immobile da un osservatore situato sul pianeta, mentre le altre stelle visibili sembrano descrivere un moto circolare attorno al polo nel corso della notte.

Questa convenzione è così radicata che risulta molto difficile adottarne una diversa e, per quanto ci si sforzi, sembra che l’unica ragionevole sia quella comunemente utilizzata.

Mafalda, del disegnatore argentino Quino, in una famosa striscia arriva alla conclusione che l’emisfero meridionale è così sottosviluppato perché a quelle latitudini le idee cadono verso il basso…

Se poi si osservano i singoli stati appare ancora più irragionevolel’utilizzo di queste mappe.

Questo è comunque un buon esempio di come sia difficile cambiare sistema di riferimento.

http://www.flourish.org/upsidedownmap/

.

Quando negli anni novanta mi fu regalato “Let Me Through” pensai che fosse un gioco in qualche modo senza soluzione. E invece, grazie a internet, l’anno scorso ho trovato come risolverlo…

Questo puzzle è una variante del “CenturyPuzzle” inventato da John Horton Conway(lo stesso autore del Doomsday) nel 1975 mentre era all’Università di Cambridge.
Chiamò questo gioco “The Century Puzzle” perché’ può essere risolto in 100 mosse.

Per spiegare in cosa consiste, sul retro della confezione è riportato:

Lasciatemi passare

La signora in verde (pezzo 2x2 quadratini) vuole arrivare alla porta che si trova dall’altra parte dell’autobus. Trovate come ognuno deve muoversi per lasciarla passare. Buon divertimento!

Ognuno dei 10 pezzi è composto di 1, 2 o 4 quadratini.

Le mosse principali per risolvere il puzzle sono indicate nei seguenti passaggi:

In particolare l’ultimo consente di spostare il bassotto e far passare la signora, che sembra essere una mossa impossibile.

Nel dettaglio le singole mosse sono:

Il bel sito dove ho trovato delucidazioni in merito è:

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/ZPAGES/zzzTrafficJam.html

Esistono altre varianti come il “Quzzle” o il “Dad’s Puzzle”. Quest’ultimo risale ai primi decenni del secolo scorso.

http://www.puzzleworld.org/slidingblockpuzzles/classic.htm
http://www.stavanger-guide.com/klotski.htm
http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/puzzles/slideblk/century.htm
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Dad%27s_Puzzle

Nel gravitare intorno alla Terra, nelle notti di plenilunio, la Luna può entrare nel cono d’ombra terrestre. In questo caso si ha un’eclisse lunare, che risulta visibile da tutto l’emisfero notturno della Terra.

Il numero massimo di eclissi in un anno è sette, in ragione di 2 eclissi lunari e 5 solari oppure 3 lunari e 4 solari. Comunque questi casi sono abbastanza rari; di norma ci sono 2 eclissi solari e 2 lunari per anno. Il numero minimo è 2 per anno (entrambi solari).

Eclisse di Luna

La periodicità e la ricorrenza delle eclissi è governato dal ciclo di Saros, che ha un periodo di circa 6.585,3 giorni (18 anni, 11 giorni e 8 ore).

Si può rimandare la scoperta del ciclo dei Saros ai Caldei circa 2.500 anni fa, i quali si accorsero che la Luna, il Sole e la Terra si ritrovano nella medesima condizione ciclicamente.

Oggi sappiamo che per ripetersi quasi esattamente nei medesimi luoghi, fra ogni eclisse devono passare 3 Saros pari a 54 anni. Dalla lettura di quegli stessi ritrovamenti si poté inoltre stabilire che il Saros non si protrae illimitatamente ma si conclude dopo un certo periodo di anni. A questi cicli periodici i sacerdoti diedero il nome di Saros cioè "ripetizione" e il numero di anni che intercorreva tra il loro ripetersi venne usato per prevedere la data delle eclissi e ciò conferì loro prestigio e timore reverenziale.

I quattro viaggi di Cristoforo Colombo

Durante il suo quarto viaggio alla volta dell'America, nel 1503 Cristoforo Colombo si arenòsulle coste della Giamaica e fu accolto assieme al suo equipaggio dagli indigeni dell’isola. Dopo alcuni mesi, però, questi cessarono di rifornirli di cibo: gli uomini di Colombo, infatti, rubavano nei villaggi e truffavano gli isolani. Anche le sue provviste erano ormai molto esigue, ma le popolazioni locali si rifiutarono di fornirgli del cibo, in cambio di gioielli.

Allora Colombo escogitòun piano per ingannarli. Aveva a bordo una copia di uno dei libri di Regiomontano, pseudonimo di JohannesMüller da Königsberg (1436 – 1476), che conteneva le predizioni di eclissi lunari, una delle quali prevista per il 29 febbraio 1504.

La sera in cui si sarebbe verificata l'eclisse organizzò un incontro con i capi delle popolazioni indigene e disse loro che Dio era molto offeso e che avrebbe fatto sparire la Luna. Quando, in perfetto accordo con la previsione di Colombo, la Luna si colorò di rosso a causa dell’ingresso nel cono d’ombra terrestre, gli indigeni furono profondamente intimoriti e supplicarono di servire nuovamente Colombo, purché questi intercedesse col suo Dio e facesse tornare la Luna al suo normale colore. Colombo accettò e, come ovvio che fosse, dopo una quarantina di minuti l’eclisse terminò.

Nel sito della NASA si può trovare la spiegazione al ciclo di Saros e si può anche verificare l’eclisse di Luna che avvenne la notte tra il 29 febbraio e il primo marzo 1504 alle 00:44:47

http://torredelsole.wordpress.com/2011/06/15/leclissi-di-luna-a-che-serve/

http://eclipse.gsfc.nasa.gov/LEcat5/LE1501-1600.html
http://www.astrosurf.com/cosmoweb/documenti/eclissi.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Viaggi_di_Cristoforo_Colombo
http://it.wikipedia.org/wiki/Regiomontano
http://www.skylive.it/default.aspx?aspxerrorpath=/AstronomiaVisuale/Astronomia_Visuale_Sfera_Celeste_Eclissi.aspx

Abstract - Lunar ecplipse

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica #59 ospitato questo mese dal blog Dropsea e l’argomento essendo nel mese del Pi Day e’ naturalmente Pi.

Il tema del mese precedente era “Matematica, che palle!” ed è interessante che i 2 argomenti siano così strettamente correlati; dal primo si arriva in modo spontaneo al secondo appena si cerca di misurare l’estensione di questi oggetti in spazi con diverse dimensioni.

Cominciamo con 2 dimensioni.

Il cerchio è l'insieme degli infiniti punti che distano da un punto dato (detto centro) non più di una distanza fissata (detta raggio R).

Una delle prime nozioni scolastiche di Geometria è la formula del calcolo dell’area del cerchio: Area=pR²

Come esempio si può pensare ad una capra libera di pascolare in un prato che abbia come vincolo una corda legata a un palo, dopo qualche giorno di erba all’interno di una circonferenza con raggio pari alla lunghezza della corda ne rimarrà ben poca.

Lo stesso concetto di luogo di punti che distano non più di una certa distanza, si può estendere in modo analogo a spazi con un altro numero di dimensioni.

Nel caso monodimensionale si ha un segmento di lunghezza 2R.

In 3 dimensioni si ottiene la sfera di volume: Volume = 4/3 pR³

In generale per le prime 10 dimensioni si ha:

V₁ = 2 R

V₂ =    p R²
V₃ = 4/3 p R³
V₄ =   1/2 p² R⁴
V₅ = 8/15 p² R⁵
V₆ =   1/6 p³ R⁶
V₇ = 16/105 p³ R⁷
V₈ =   1/24 p⁴R⁸
V₉ = 32/945 p⁴R⁹
V₁₀= 1/120 p⁵R¹⁰

La formula generatrice di tutti i casi è relativamente semplice:

Γè la funzione gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero, una funzione continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale.

Γ(n+1) = n!

dove n! è il fattoriale, il prodotto dei numeri interi da 1 a n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

Se nella formula (1) si prendono solo i casi con n pari, si ottiene:

V₂ =    p R²
V₄ =    1/2   p² R⁴
V₆ =    1/6   p³ R⁶

V₈ = 1/24 p⁴R⁸
V₁₀= 1/120 p⁵R¹⁰

Con integrazioni successive si possono ricavare un paio di regole che mostrano come ad ogni incremento nel numero di dimensioni l’esponente di R si incrementa di 1 (e questo è banale), mentre l’esponente di pi si incrementa di 1 solo nel passaggio da un numero dispari ad un numero pari di dimensioni, ad esempio da 3 a 4 (meno banale, ma non difficile da dimostrare).

In particolare nel caso di R = 1 le precedenti formule si riducono a:

Semplici no?

Ora se sommiamo la serie di valori V₀, V₂ ,V₄ , V₆, …

Sommatoria V = 1 + 3,14 + … = 23,14069..

Questo numero non èun numero qualunque! E lo vedremo subito.

Non è difficile verificare che il noto sviluppo in serie:

coincide con la sommatoria precedente ponendo x = π

Quindi che lo strano numero 23,14069 si ottiene elevando il numero di Eulero e (2,7182…) a pi (3,1415…)

ma non è finita qui…

Come mostrato da Roger Penrose nel capitolo 5 del libro, La strada che porta alla realtà, Rizzoli, 2005:

Abbiamo infine ottenuto che la sommatoria precedente di volumi di ipersfere di raggio 1 in spazi di dimensione pari converge al valore di ( 1 / iⁱ)²

Questo numero ha anche un nome: Costante di Gelfond

Le considerazioni precedenti si possono trovare anche in Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond

Come appendice ricordo che un caso piu’ generale considerando anche gli spazi con dimensione dispari, lo potete trovare in un precedente post:

http://zibalsc.blogspot.it/2011/08/73-somma-di-ipersfere.html

Nel caso di R = 1 , tale sommatoria vale 44,99931...

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

http://zibalsc.blogspot.it/search/label/pi
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/9-ipersfere.html

Nel sito della NASA viene oggi riportata la fotografia di Mercurioripresa dalla sonda MESSENGER (MErcury Surface, Space ENvironment, GEochemistry and Ranging) lanciata il 3 agosto 2004, progettata per studiare le caratteristiche e l'ambiente del pianeta Mercurio. Il 18 marzo 2011è entrata in orbita ermeocentrica.

Explanation: The colors of the solar system's innermost planet are enhanced in this tantalizing view, based on global image data from the Mercury-orbiting MESSENGER spacecraft. Human eyes would not discern the clear color differences but they are real none the less, indicating distinct chemical, mineralogical, and physical regions across the cratered surface. Notable at the upper right, Mercury's large, circular, tan colored feature known as the Caloris basin was created by an impacting comet or asteroid during the solar system's early years. The ancient basin was subsequently flooded with lava from volcanic activity, analogous to the formation of the lunar maria. Color contrasts also make the light blue and white young crater rays, material blasted out by recent impacts, easy to follow as they extend across a darker blue, low reflectance terrain.

http://apod.nasa.gov/apod/lib/aptree.html
.

97. E quindi uscimmo a riveder le stelle

98. Nulla

99. Luci della città

100. Eruzioni Solari

101. La carica

102. La concezione del telefono

103. Chudnovsky brothers

104. La Legge di Moore

105. Masurio e Renio

106. Congetture

107. L’Ombra di Mezzogiorno

Solstizio Invernale

108. Mandelbrot

109. Doomsday 2013

110. In una notte di Luna Piena

111. Mappe

112. Upside down world map (Mappe sottosopra)

113. Let Me Through

114. Cristoforo Colombo e l’eclissi di Luna

115. Somma di ipersfere

116. Astronomy Picture of the Day