Pubblicato per la prima volta nel 1971 da Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, è un'introduzione alle diverse concezioni del numero e alle diverse forme di calcolo numerico.

Nel libro sono riportate anche 19 appendici. Ne riporto 2 particolarmente stimolanti. Nell’introduzione dell’autore si può leggere: “Per comprendere la matematica occorre far funzionare il cervello, e questo costa sempre un certo sforzo.”

-       Una porta mezza-chiusa non è una porta mezza-aperta

(Quando un movimento può essere compiuto in due sensi, o «versi» opposti, occorre misurare gli spostamenti con numeri positivi e negativi, se si vogliono evitare errori e assurdità.)

«Dimostriamo» che: chiuso = aperto.

Infatti: una porta mezza-chiusaè la stessa cosa di una porta mezza-aperta.

Perciò:

mezzo-chiuso = mezzo-aperto

raddoppiando:

chiuso = aperto.

Dove sta l'errore? Chiuso è l'opposto di aperto, e mezzo-chiuso è l'opposto di mezzo-aperto. Infatti, il movimento di aprire (una porta) consiste nel farla ruotare di un angolo retto attorno ai suoi cardini in un dato senso, mentre per chiudere la stessa porta bisogna farla ruotare del medesimo angolo, ma nel senso opposto, e perciò le rotazioni necessarie per chiudere a metà, e per aprire a metà, sono uguali come ampiezza, ma hanno segno opposto: 

1/2 chiuso = - (1/2 aperto)

e quindi:

chiuso = - (aperto)

 al posto del segno “meno” si può anche leggere: “opposto di …”.

-       Uno è uguale a due, ovvero l'operazione proibita

Il calcolo letterale è una «macchinetta» preziosa, ma qualche volta può scoppiare in mano a chi la maneggia con poca attenzione. Allora ..., attenzione: dimostreremo che uno è uguale a due. 

Supponiamo che sia a = b; perciò, moltiplicando per a da tutt'e due le parti:

a² = ab

togliendo dalle due parti (da tutt'e due i membri dell'uguaglianza), la stessa quantità, b²

a² - b² = a * b – b²

Ma, per una nota regola di calcolo che del resto sì verifica senza difficoltà, la differenza dei quadrati di due numeri è uguale alla loro somma moltiplicata per la loro differenza; perciò: 

a² - b² = (a * b) (a – b) = b (a - b)

Infatti, «mettendo in evidenza» b; a * b - b² = b (a - b). Ora, nell'uguaglianza: 

(a + b) (a – b) = b (a – b),

parrebbe permesso dividere per a - bil primo e il secondo membro; quindi: 

a + b = b

Quest’ultimo esempio è preso dal libro di Paul J. Nahin - In Pursuit of Zeta-3

-       Uno è uguale a un mezzo

La nota serie ottenuta dalla serie armonica riscritta con segni alterni converge a ln(2).

Nel 1837 il matematico tedesco Bernhard Riemann osservò che i termini di una serie armonica con segni alterni può sempre essere riarrangiata per convergere ad ogni valore, positivo o negativo, desiderato.

Riemann series theorem - Wikipedia

Il 2024 è un anno bisestile. Per definizione 1 anno ogni 4 lo è (a questa regola fanno eccezione gli anni “00”, in questi casi si applica lo stesso calcolo al secolo, per esempio, il 2000 è stato bisestile e il 2100 non lo sarà).

All’interno del secolo, abbiamo una ripetizione dello stesso calendario solo ogni 28 anni.

Per riutilizzare il calendario (o l’agenda) bisestile di quest’anno dovremo aspettare 28 anni, in questo secolo in totale 3 volte: 2024, 2052 e 2080.

Per essere precisi anche questi 3 anni avranno qualcosa di diverso:la data della Pasqua.

http://zibalsc.blogspot.it/2013/03/118-e-la-data-della-pasqua.html

Nel calendario gregoriano la Pasqua è una festività mobile e la sua data varia di anno in anno perché è correlata con il ciclo lunare.

La regola che fissa la data della Pasqua fu stabilita nel 325 dal Concilio di Nicea:

la Pasqua cade la domenica successiva alla prima luna piena dopo l'equinozio di primavera (il 21 marzo).

Di conseguenza essa è sempre compresa nel periodo dal 22 marzo al 25 aprile.

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Quest’anno il Doomsday sarà di Giovedì.

Come visto nel post 202 (e nei precedenti 30, 92, 109, 132 e 172) alcune date, semplici da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday).

Questa regola è stata evidenziata dal matematico inglese John Horton Conway.

Quest'anno saranno Giovedì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:

-       l’ultimo giorno di Febbraio (anche se l’anno è bisestile)

-       il 25 Aprile
-       Ferragosto       (15 Agosto)
-       Halloween        (31 Ottobre)
-       S.Stefano         (26 Dicembre)

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

Anche il 26/12 compleanno di Conwayè il giorno del Doomsday.

Uno dei metodi per calcolare il Doomsday è di sommare le ultime due cifre dell'anno al quoziente intero della loro divisione per 4; al risultato si deve sommare il coefficiente del secolo, che per il periodo dal 1900 al 1999 corrisponde a 3, mentre dal 2000 al 2099 è 2.

Ad esempio, per il 2024 si ottiene:

24 + int(24/4) + 2  =  24 + 6 + 2  =  32  (modulo 7)  =  4 (Giovedì)

http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule

http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_della_Pasqua

Zibaldone Scientifico: 202. Doomsday 2016 e Calendari (zibalsc.blogspot.com)

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale, avvicinandosi (o allontanandosi) progressivamente.

In coordinate polari l’equazione più semplice si esprime come r = ϑ

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

La spirale archimedea:      r = a ϑ

La spirale di Fermat:          r = a ϑ^1/2

La spirale iperbolica:          r = a / ϑ

Il lituo:                                 r = a ϑ^-1/2

La spirale logaritmica:        r = a e^kϑ

La spirale di Cornu o clotoide 

Per una lista più completa vedete qui: List of spirals - Wikipedia

Cominciamo dal famosissimo nautilus, un mollusco cefalopode, la sua sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento.

Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le ammoniti.

Nel regno vegetale: nel disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario.

Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi o nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas o nella disposizione delle foglie dell'aloe.

Nei gasteropodi: lumache, chiocciole.

Nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea ha questa forma. che permette di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore.

Un esempio particolare di spirale logaritmica è la spirale Aurea dove la struttura, ingrandita, o rimpicciolita, conserva lo stesso aspetto; questa può essere bene approssimata dalla spirale di Fibonacci.

Passiamo ora ad alcuni casi dove 2 o più spirali si avvolgono insieme.

Il condensatore elettrolitico, ad esempio, è composto da due lamelle definite armature. Queste sono divise da un materiale dielettrico o isolante e hanno polarità negative e positive. Quindi il condensatore è molto simile a una batteria e può mantenere una carica accumulata. Infine, questa struttura viene arrotolata per contenerne le dimensioni.

List of spirals - Wikipedia

Multisided record - Wikipedia

Fate as the DJ: Parallel Grooves | Kempa.com

https://www.reddit.com/r/Vinyl_Jazz/comments/k1pt41/parallel_grooves/?rdt=63556

Castello di Chambord - Wikipedia

Mathematical Spirals | Renaissance Universal (wordpress.com)

ajams7(2)66-76.pdf (arpgweb.com)

Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 225. Spirale di Teodoro (zibalsc.blogspot.com)

                                                       Lossodromia - Wikipedia

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su«Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici. 

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà nonè un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.

Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Squareè un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (2¹):

In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (2²):

Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (2³), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):

In generale in n dimensioni: 2^(n-1) (n+2)→ 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, …  A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):

Zibaldone Scientifico: 94. Sezioni di ipercubo (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 131. Tesseratto (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 52. Cubo di Rubik (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 154. I (Noti) Solidi Platonici (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni (zibalsc.blogspot.com)

Introduzione a una quarta dimensione spaziale(dainoequinoziale.it)

Sezioni ipercubiche ortoassiali - Wikipedia

Espace à quatre dimensions — Wikipédia (wikipedia.org)

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray

Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum“giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

x_n+1 = r x_n ( 1 – x_n )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaumè definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…

Indipendentemente dalla scelta di x₀ la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione z_n+1 = z_n² + c).

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se rè maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.

Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaumè definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a x_m, indicato con d_n nel caso dell'attrattore di 2ⁿ punti. Si costruisce così la successione d_n e si definisce:

α = 2,502907875095892822283902873218…

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 

https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/

                                           «Anche noi siamo fatti della materia di cui sono fatti i sogni e la nostra breve vita è circondata da un sonno.»

(Prospero: atto IV, scena I.)    La tempesta di William Shakespeare

L’effetto Cerenkov consiste nell’emissione di radiazione elettromagnetica provocata dall’attraversamento di un mezzo dielettrico da parte di una particella carica (quale un elettrone) che si muove a una velocità superiore a quella di propagazione della luce nel mezzo stesso.

In un mezzo denso la velocità di propagazione della luce vè più bassa di quella nel vuoto c (che per la teoria della relatività è una costante universale e non può essere superata). La riduzione della velocità è legata all’indice di rifrazione n, del mezzo stesso, assumendo il valore di v = c/n.

In un mezzo denso può, dunque, accadere che una particella superi la velocità di propagazione della luce nel mezzo stesso.

A causa del campo elettrico della particella carica, le molecole del materiale attraversato si polarizzano. Quando ritornano allo stato inziale, se la velocità della particella carica è superiore a un valore di soglia, emettono un breve impulso di radiazione elettromagnetica. Lo spettro di emissione Cerenkov è continuo e nella regione del visibile l’intensità relativa per unità di frequenza è approssimativamente proporzionale alla frequenza stessa. Ciò vuol dire che la radiazione di maggiore frequenza è più intensa.

Questa è la causa dell’intenso colore blue della luce. In realtà, la maggiore parte della radiazione Cerenkov è nella regione ultravioletta.

Qui di seguito è riportato il discorso di presentazione del Professor Kai Siegbahn, membro dell'Accademia svedese delle scienze, alla consegna del Premio Nobel per la Fisica nel 1958 a Pavel Cerenkov, Il´ja Frank e Igor Tamm"Per la scoperta e l’interpretazione dell’effetto Cerenkov".

Siegbahn ottenne a sua volta il Premio Nobel per la Fisica nel 1981 con la motivazione: “Per il suo contributo allo sviluppo della spettroscopia elettronica ad alta risoluzione”.

Vostre Maestà, VostreAltezze Reali, Signore e Signori.

La scoperta del fenomeno noto come effetto Cerenkov, per il quale fu assegnato il Premio Nobel, è un interessante esempio di come un'osservazione fisica relativamente semplice, se seguita nel modo giusto, possa portare a scoperte importanti e aprire nuovi percorsi di ricerca.

Tra gli studenti dell'Istituto Lebedev di Mosca all'inizio degli anni Trenta c'era Pavel Cerenkov. Il compito assegnatogli dal suo insegnante, il professor Vavilov, per il suo lavoro di tesi, era quello di studiare cosa succede quando la radiazione proveniente da una sorgente di radio penetra e viene assorbita in diversi fluidi. Lo stesso problema aveva senza dubbio preoccupato molti scienziati prima di questo giovane dottorando e molti avevano anche osservato il debole bagliore bluastro che emanava dal liquido quando la radiazione lo penetrava. Una menzione speciale merita l'importante osservazione del francese Lucien Mallet. Il bagliore bluastro è sempre stato considerato una manifestazione del noto fenomeno della fluorescenza. Questo fenomeno viene utilizzato, ad esempio, dai radiologi nei fluoroscopi a raggi X, dove i raggi X "invisibili" possono colpire uno schermo fluorescente, che poi si illumina.

Cerenkov, tuttavia, non era convinto che il fenomeno luminoso da lui osservato fosse effettivamente di tipo fluorescenza. Già i suoi primi esperimenti indicavano che i suoi sospetti erano fondati. Scoprì, ad esempio, che la radiazione era essenzialmente indipendente dalla composizione del liquido. Ciò era in disaccordo con la spiegazione della fluorescenza. Osservando la radiazione anche nell'acqua doppiamente distillata, eliminò la possibilità che minuscole impurità diventassero fluorescenti nei liquidi.

Cerenkov fece della nuova radiazione sconosciuta oggetto di un'indagine sistematica. Nel suo lavoro scoprì che la radiazione era “polarizzata” lungo la direzione della radiazione incidente del radio e che erano gli elettroni secondari veloci, prodotti da quest'ultima, ad essere la causa primaria della radiazione visibile. Ciò è stato verificato irradiando i liquidi con i soli elettroni provenienti da una sorgente di radio.

Le ricerche che Cerenkov pubblicò sui periodici russi tra il 1934 e il 1937 stabilirono essenzialmente le proprietà generali della radiazione appena scoperta. Tuttavia, mancava ancora una descrizione matematica dell’effetto. Qui entrano in gioco due colleghi di Cerenkov a Mosca. Come può un elettrone veloce, attraversando un liquido, dare origine a una radiazione con le proprietà osservate da Cerenkov? All'inizio il fenomeno sembrava difficile da comprendere, ma nel lavoro di Frank e Tamm (1937) fu data una spiegazione che oltre ad essere semplice e chiara, soddisfaceva anche i requisiti di rigore matematico.

Il fenomeno può essere paragonato all'onda di prua di un'imbarcazione che si muove nell'acqua con una velocità superiore a quella delle onde. Questo è, per inciso, un semplice esperimento che chiunque può fare. Per prima cosa si lascia cadere un oggetto in una ciotola d'acqua e si osserva la velocità di propagazione del fronte d'onda circolare. Quindi si sposta l'oggetto lungo la superficie dell'acqua molto lentamente all'inizio, ma aumentando gradualmente la velocità. Quando quest'ultima supera la velocità dell'onda precedentemente osservata, si forma un'onda ad arco che si estende obliquamente all'indietro nel modo ben noto.

La velocità dell'onda sulla superficie dell'acqua è ovviamente bassa e quindi in questo caso è facile produrre l'onda di prua. Nell’aria un fenomeno analogo si verifica quando un aereo a reazione supera la cosiddetta barriera del suono a circa 1.000 km/h, cioè quando la velocità del getto supera la velocità di propagazione delle onde sonore. Questo è accompagnato da un botto.

La condizione richiesta per formare la corrispondente onda dell'arco di Cerenkov della luce ordinaria quando una particella carica, ad es. un elettrone attraversa un mezzo è, analogamente, che la particella si muove con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. Inizialmente si potrebbe pensare che ciò sia impossibile, poiché secondo la teoria della relatività di Einstein la velocità della luce è la massima velocità possibile. Questo è di per sé corretto, ma la velocità a cui fa riferimento la teoria di Einstein è la velocità della luce nello spazio vuoto o nel vuoto. In un mezzo, ad es. un liquido o un solido trasparente, la velocità della luce è inferiore a quella del vuoto e inoltre varia con la lunghezza d'onda. Questo fatto è ben noto dagli esperimenti scolastici sulla rifrazione della luce in un prisma. In un mezzo del genere è quindi del tutto possibile che un elettrone ultraveloce, emesso da una sorgente radioattiva, si muova con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. In questo caso si forma un'onda ad arco di Cerenkov e il liquido si illumina con la brillante magia blu della corsa frenetica degli elettroni con la luce distante.

Uno spettacolo bellissimo si ha guardando dall'alto in un reattore di uranio contenente acqua; un cosiddetto reattore a piscina. L'intero nucleo è illuminato dalla luce blu di Cerenkov e in questa luce si può persino fotografare l'interno del reattore.

Negli studi di successo su nuove particelle elementari intrapresi negli ultimi anni, ad es. Con la scoperta nel 1955 dell'antiprotone, l'effetto Cerenkov ha giocato un ruolo decisivo. Basandosi su questo effetto è stato progettato uno strumento in grado di registrare il passaggio delle singole particelle. Solo a condizione che la particella abbia una velocità sufficientemente elevata verrà registrata dallo strumento che, allo stesso tempo, potrà misurarne la velocità. Per la determinazione della velocità, che può essere effettuata con notevole precisione, si sfrutta il fatto che l'angolo dell'onda ad arco dipende dalla velocità delle particelle. Più velocemente si muove la particella, minore sarà l'angolo tra di loro. Ciò è facilmente comprensibile dall'esempio con la nave in acqua. Questo nuovo tipo di rilevatore di radiazioni porta il nome di Cerenkov ed è ora uno degli strumenti più importanti nei grandi laboratori atomici, dove le particelle elementari vengono accelerate a velocità estremamente elevate.

La scoperta di Cerenkov, Frank e Tamm, avvenuta circa vent'anni fa, ha quindi trovato negli ultimi anni un'applicazione di decisiva importanza nello studio della struttura fondamentale e della natura della materia.

Il professor Cerenkov, il professor Frank, l'accademico Tamm. L'Accademia reale svedese delle scienze vi ha assegnato il Premio Nobel per la fisica per la scoperta e la spiegazione dell'effetto che ora porta il nome di uno di voi. Questa scoperta non solo getta luce su un fenomeno fisico finora sconosciuto, ma fornisce anche un nuovo ed efficace strumento per lo studio dell'atomo.

Mi congratulo di cuore con voi a nome dell'Accademia e vi chiedo di accettare il premio dalle mani di Sua Maestà il Re.

Cerenkov luminescence imaging: physics principles and potential applications in biomedical sciences | EJNMMI Physics | Full Text (springeropen.com)

Cherenkov Radiation: Sonic Boom For Light? Beautiful Phenomenon! — Steemit

Cherenkov Telescope Array - Wikipedia

T17FIS501MC: NEMO: A caccia di neutrini negli abissi | spark (liceodesio.edu.it)

Pavel A. Cherenkov - Facts (nobelprize.org)

Effetto Čerenkov - Wikipedia

Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:

il numero aureo φ =  1,61803398874989...

Come per l’identità di Eulero, anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula alcune delle più importanti costanti matematiche.

Per dimostrare la relazione dobbiamo cominciare dalla Sezione Aurea.

Si tratta di dividere un segmento AB in 2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua AB : AC = AC : CB

Euclide usò questa formula lavorando sui pentagoni.

Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x 

La condizione richiesta è perciò: (1 + x) / x = x / 1

Quindi si ha x²– x – 1 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:

La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.

Come vedremo poi, se si disegna un pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero aureo.

Il termine Sezione Aureaè relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm (fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge) nel suo libro del 1835.

Prima di vedere perché, rivediamo qualche nozione di trigonometria.

La trigonometria studia i triangoli rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati, angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale.

1)    Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

2)    Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

La formula di Euleroè una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

formula di Eulero:   e^ix = cos x + i sen x

la formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale: 

sen x = ( e^ix - e^-ix) / 2i          cos x = ( e^ix + e^-ix) / 2

Come noto, gli angoli possono essere espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in considerazione entrambi.

Mostriamo ora alcuni angoli notevoli: 30, 36, 45, 60 e 90 gradi.

In particolare, il seno (30°) = ½ (il cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90 gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.

Un pentagono regolare di lato 1 (per es. DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.

I 2 triangoli isosceli ADE e DCE sono simili per cui AD : DE = DE : CE

Ponendo AD = x  si ha:

x : 1 = 1 : (x – 1)          1 = x²– x          x²– x – 1 = 0

Per cui in analogia a quanto visto sopra: AD = φ

cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono uguali a φ

Per il triangolo rettangolo ABC si può quindi ricavare:

cos 36° = AB / AC = φ / 2 = 0,809016994374945…

Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si ottiene l’enunciato iniziale:

Riporto in seguito altre formule notevoli:

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)

Golden ratio - Wikipedia

Generalizations of Fibonacci numbers - Wikipedia

Formula di De Moivre

Formula di Eulero - Wikipedia

Identità di Eulero

Piano complesso

Radice dell'unità

Rappresentazione dei numeri complessi

Storia dei numeri complessi

Calcinator™ Free Online Mobile Web Scientific Calculator: complex numbers, exponential trigonometric statistics hyperbolic and algebraic functions

Considerate una focaccina rotonda al prosciutto: una fetta di pane, una di prosciutto e un’altra fetta di pane. Per dividere a metà le 3 fette con un coltello, basta che il taglio passi per il centro delle circonferenze. E se le 3 fette non fossero correttamente impilate? O peggio, se aveste urtato il panino e una fetta di pane fosse rimasta sul tavolo, il prosciutto sulla sedia e l’altra fetta sul pavimento?

Anche in questo caso la geometria ci assicura che un singolo taglio (cioè, un singolo piano), potrà ancora dividere perfettamente in due tutti e tre i pezzi, lasciando esattamente metà del prosciutto e metà di ciascuna fetta di pane su entrambi i lati del taglio. Questo perché il “teorema del panino al prosciutto” asserisce che per tre oggetti qualsiasi (potenzialmente asimmetrici) in qualsiasi orientamento, c’è sempre un piano che può dividerli tutti simultaneamente in due parti uguali.

In due dimensioni, si possono disegnare due forme qualsiasi e ci sarà sempre una linea retta (unidimensionale) che taglia entrambe perfettamente a metà.

Per garantire un taglio uguale per tre oggetti, dobbiamo passare alle tre dimensioni e tagliare con un piano bidimensionale.

In uno spazio quadridimensionale, un panino al prosciutto con quattro ingredienti può essere diviso in due con un taglio tridimensionale. 

Per avere un'idea di come dimostrare il teorema del sandwich al prosciutto, si consideri una versione semplificata: due forme 2D, una un cerchio e l'altra con forma qualsiasi. Una linea che passi attraverso il centro di un cerchio lo dividerà in due (utilizziamo un cerchio per rendere le cose più facili). Scegliamo ora una linea attraverso il centro del cerchio che non intersechi l’altra figura. Il 100% della figura si trova, ad esempio, sotto la nostra linea. Ora ruotando lentamente la linea attorno al centro del cerchio, questa ne taglierà una percentuale sempre minore e, alla fine, arriverà allo 0%. Da questo possiamo dedurre che deve esserci un momento in cui il 50% della massa si trova sotto la linea. Stiamo passando gradualmente ma continuamente dal 100% allo 0%, il che significa che a un certo punto saremo esattamente al 50%.

Il teorema del panino al prosciutto, noto anche come teorema di Stone-Tukey, afferma che dati n oggetti in uno spazio n-dimensionale, di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi, esiste sempre un iperpiano (n-1)-dimensionale in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Esempi pratici del teorema:

- Fisica: tre nuvole di gas nello spazio, il teorema assicura che esiste sempre un piano che divide esattamente metà della massa di ciascuna nuvola su ciascun lato del piano.

- Statistica: tre distribuzioni di dati in uno spazio tridimensionale, il teorema garantisce che esiste un piano che divide equamente i dati di ciascuna distribuzione.

Si tratta di un importante risultato topologico noto anche come corollario al teorema di Borsuk-Ulam: per ogni funzione continua che mappa la superficie di una sfera in uno spazio Euclideo, esistono due punti diametralmente opposti sulla sfera che vengono mappati nello stesso punto.

Un esempio classico si ha in dimensione 2 (sulla superficie di una sfera); supponiamo che la funzione rappresenti temperatura e pressione atmosferica in ogni punto della Terra. Il teorema di Borsuk-Ulam implica che esiste sempre una coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie terrestre che hanno esattamente stessa temperatura e pressione.

Il teorema diBorsuk-Ulamè strettamente connesso con il teorema del punto fisso di Brouwer. Entrambi appartengono al campo della topologia e condividono alcune idee fondamentali legate alla simmetria e alla continuità.

Un classico esempio del teorema del punto fisso di Brouwer (caso bidimensionale come un disco): data una funzione continua che "deforma" il disco senza sollevarlo dai suoi bordi, ci sarà sempre almeno un punto che rimane fisso.

I due teoremi sono collegati perché entrambi riflettono il comportamento di mappe continue e sono radicati in concetti di simmetria e compattezza.

Entrambi i teoremi hanno importanti applicazioni comuni nella matematica e nell'economia, dove concetti come l'esistenza di punti fissi (Brouwer) o l'equilibrio tra elementi (Borsuk-Ulam) sono utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione o di equità e sono esempi di come le proprietà topologiche degli spazi continui impongano restrizioni sulle mappe, garantendo l'esistenza di punti con proprietà particolari, come punti fissi o coppie di punti antipodali che si comportano allo stesso modo.

Il teorema di Brouwer ha risvolti semplici ma sorprendenti:

- mescolando una tazzina di caffè, in ogni momento almeno un punto del caffè si trova nel punto iniziale (anche se non possiamo sapere quale con esattezza),

- se si mette per terra una cartina stradale del posto in cui ci si trova (con qualsiasi scala), almeno un punto della cartina coinciderà con il luogo che rappresenta.

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

Utilizzando una versione intuitiva del teorema di Borsuk-Ulam si può dimostrare che, per un escursionista che in un fine settimana sale ad un rifugio il sabato e torna per lo stesso sentiero la domenica partendo alla stessa ora, c'è sempre un punto in cui l’escursionista si troverà nello stesso posto alla stessa ora in entrambi i giorni.

Quindi la domanda è: esiste un momento in cui, in entrambi i viaggi, lo scalatore si trova esattamente nello stesso punto del sentiero alla stessa ora?

La risposta è sì. Possiamo immaginare di confrontare il percorso di salita e il percorso di discesa come due funzioni continue che descrivono la posizione dello scalatore lungo il sentiero in base al tempo.

La funzione, che misura la distanza tra la posizione dello scalatore durante la salita e quella durante la discesa in un dato momento della giornata, è continua e all'inizio della giornata (al momento della partenza) la distanza tra le posizioni è massima (uno sta al piede della montagna e l'altro alla cima). Alla fine della giornata (all'ora di arrivo), la distanza è ancora massima, ma opposta (uno è in cima e l'altro è al piede).

Essendo questa una funzione continua, per il teorema degli zeri si conclude che deve esistere almeno un momento della giornata in cui la distanza è zero. Cioè, in un certo istante, lo scalatore si trova nello stesso punto del percorso sia durante la salita che durante la discesa.

Quindi, indipendentemente dalla velocità con cui lo scalatore sale o scende, ci sarà sempre un punto lungo il sentiero in cui egli si troverà alla stessa ora sia durante il primo giorno (salita) che il secondo giorno (discesa).

Ancora più semplice, se due persone partono contemporaneamente dai due estremi, da qualche parte si incontreranno sicuramente. 

TESI TRIENNALE GIACOMO SARAGONI.pdf (unibo.it)

Teorema del panino al prosciutto - Wikipedia

Category:Fixed points (mathematics) - Wikipedia

Ham Sandwich Theorem -- from Wolfram MathWorld

Sandwich problem / Etudes // Mathematical Etudes

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

Domanda: Che cosa è meglio, l’eterna felicità o un panino al prosciutto?

Sembrerebbe che fosse meglio l’eterna felicità, ma in realtà non è così!
Dopo tutto, niente è meglio dell’eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente.
Quindi un panino al prosciutto è meglio dell’eterna felicità.

Tratto da Raymond M. Smullyan - Qual è il titolo di questo libro? – Zanichelli

Articolo V

Il Congresso, quando i due terzi di ciascuna Camera lo ritengano necessario, potrà proporre emendamenti a questa Costituzione o, su richiesta dei Legislativi dei due terzi dei vari Stati, potrà convocareuna Convenzione per proporre emendamenti, che, in entrambi i casi, saranno validi ad ogni intento e proposito come parte di questa Costituzione quando ratificati dai Legislativi dei tre quarti dei diversi Stati, o da apposite Convenzioni nei tre quarti di essi, a seconda che l'uno o l'altro modo di ratifica sia proposto dal Congresso; con l'eccezione che nessun emendamento che sia fatto prima dell'anno 1808 potrà in qualsiasi modo incidere sulla prima e sulla quarta clausola della Sezione nona dell'articolo primo; e che nessuno Stato potrà, senza il suo consenso, esser privato della sua parità di suffragio nel Senato.

Nel 1947, Kurt Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern guidarono da Princeton a Trenton con l'auto di Morgenstern. I tre uomini, che erano fuggiti dall'Europa nazista e che erano diventati amici intimi all'Institute for Advanced Study, stavano andando in tribunale dove Gödel, un esule austriaco, avrebbe dovuto sostenere l'esame di cittadinanza statunitense, cosa che i suoi due amici avevano già fatto.

Tra le altre cose, Morgenstern aveva fondato la teoria dei giochi, Einstein aveva fondato la teoria della relatività e Gödel aveva rivoluzionato la matematica e la filosofia con i suoi teoremi di incompletezza.

Kurt Gödel e Albert Einstein a Princeton. Fotografia scattata da Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e Kurt Gödel a Princeton. Fotografia scattata da Albert Einstein

Morgenstern guidava. Gödel si sedette dietro. Einstein, davanti con Morgenstern, si voltò e disse, scherzando:

"Ora, Gödel, sei davvero ben preparato per questo esame?"

Gödel sembrava colpito.

Secondo Morgenstern, lo scopo di Einstein nel chiedere questo era quello di innervosire Gödel, la cui reazione lo divertì.

In tribunale

I testimoni normalmente rimanevano fuori dalla stanza durante un esame di cittadinanza, ma poiché Einstein era coinvolto, e poiché il giudice, Phillip Forman, aveva prestato giuramento di cittadinanza a Einstein, tutti e tre gli uomini furono invitati a presentarsi.

Durante l'esame, Forman chiese a Gödel la storia del governo austriaco: 

Examiner:    "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel:         "Where I come from? Austria."
Examiner:    "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel:         "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner:    "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel:         "Oh, yes. I can prove it."

In sintesi: era una repubblica, ma la costituzione era tale che alla fine cambiò in una dittatura; il giudice commentò che ciò non poteva accadere negli Stati Uniti e Gödel rispose "Oh, sì, posso provarlo", ma il giudice rifiutò di approfondire la questione.

Per prepararsi al test di cittadinanza, sapendo che gli sarebbero state poste domande sulla Costituzione degli Stati Uniti, Gödel si era dedicato allo studio della storia americana e del diritto costituzionale. Più e più volte, aveva telefonato a Morgenstern con il panico crescente per l'esame. Morgenstern lo rassicurò che "al massimo potrebbero chiedersi che tipo di governo abbiamo". Ma Gödel si arrabbiò sempre di più. Alla fine, come ricordò in seguito Morgenstern, "mi disse piuttosto eccitato che guardando la Costituzione, con sua angoscia, aveva trovato alcune contraddizioni interne e che poteva mostrare come in modo perfettamente legale sarebbe stato possibile per qualcuno diventare un dittatore e instaurare un regime dittatoriale, mai voluto da coloro che hanno redatto la Costituzione". Aveva trovato un difetto logico.

Morgenstern parlò ad Einstein della teoria di Gödel; entrambi dissero a Gödel di non parlarne durante l'esame.

Quanto invece successo, quando arrivarono in aula, è stato mostrato prima.

Né Gödel né i suoi amici hanno mai spiegato quale fosse la teoria, che da allora è stata chiamata la falla di Gödel.

Kurt Gödel ha esaminato attentamente le più di quattromila parole della Costituzione degli Stati Uniti e ha individuato un difetto logico.

Gli Stati Uniti sono stati la prima nazione la cui costituzione ha previsto una propria revisione. Senza l'articolo V, la Costituzione avrebbe molto probabilmente fallito la ratifica. Tutti sapevano che la Costituzione era imperfetta; L'articolo V lasciava socchiusa una porta costituzionale per rendere essa "più perfetta".

In ogni caso, negli Stati Uniti, è estremamente difficile modificare la Costituzione.

La Costituzione degli Stati Uniti è stata riscritta tre volte: nel 1791, i primi dieci emendamenti; dopo la guerra civile e più recentemente, con la ratifica di alcuni emendamenti.

La falla di Gödel in realtà è una versione costituzionale dell'idea che, se il genio della lampada ti offrisse tre desideri, dovresti iniziare desiderando altri desideri.

Articolo V: la disposizione di modifica non vieta di modificare l'articolo V stesso.

È molto difficile ratificare un emendamento costituzionale, ma se un presidente riuscisse ad accumulare abbastanza potere e ad accumulare abbastanza seguaci, potrebbe ottenere la ratifica di un emendamento che riveda il meccanismo stesso dell'emendamento. Se un articolo V rivisto rendesse possibile a un Presidente di emendare la Costituzione per decreto (ad esempio,"Il Presidente, ogni volta che lo riterrà necessario, apporterà emendamenti a questa Costituzione, che saranno validi a tutti gli effetti, come parte di questa Costituzione"), potrebbe trasformare una democrazia in una dittatura senza far nulla di incostituzionale.

Dopo l'udienza

Torniamo a quanto scritto da Morgenstern nel suo memorandum, dopo l'udienza: "Partimmo, tornammo a Princeton, e quando arrivammo all'angolo di Mercer Street, chiesi a Einstein se volesse andare all'Istituto o a casa". Risposta: "Portami a casa, il mio lavoro non vale più nulla". […] "Poi via di nuovo a casa di Einstein". Quando raggiunsero la casa,  Einstein si voltò verso Gödel e disse:

 Qui se non mi sbrigherò, arriverà il Rinascimento e non ci sarà tempo che per dipingere!(Giullare) - Woody Allen: Tutto quello che avreste voluto sapere sul sesso (ma non avete mai osato chiedere)

A due passi dal Duomo di Milano si trova la via Falcone. Stretta e corta, meno di 100 metri.

Chi la percorre arrivando da via Mazzini, non la noterà nemmeno: a sinistra ci sono portici con negozi costruiti nel dopoguerra, mentre a destra un muro di mattoni e alcune vecchie case. Ma questa è una delle vie più vecchie di Milano e la storia è passata di qui.

Nell’anno 1242, all’inizio di via Falcone vi era un albergo con l’insegna del falcone. Più che un albergo era un ostello frequentato da avventori e prostitute. Bevitori e giocatori di dadi passavano le giornate sperperando i soldi che avevano.

Si racconta che nell’anno 1242 avvenne un fatto miracoloso che vide l'immagine della Vergine con Bambino, posta sulla via all’esterno del sacello di S. Satiro, sanguinare in seguito ad una coltellata infertale da un giovane squilibrato, tale Massazio da Vigolzone, che aveva perso tutto al gioco. L'immagine restò esposta all'esterno di S. Satiro, fino a quando, circa due secoli più tardi, fu decisa la costruzione di un tempio in cui ospitare l'opera. L'icona con la Vergine del Miracolo fu portata all'interno della chiesa e rimaneggiata nel XV secolo.

In fianco a S. Satiro vi era la Taverna della Lupa, che venne acquistata nel 1478 per creare lo spazio per l'edificazione della bramantesca S. Maria presso S. Satiro.

L'ingaggio del Bramante per la chiesa di S. Maria, commissionata dagli Sforza e dalla madre di Gian Galeazzo, Bona di Savoia, risale al 1480. La prima rivoluzione che introdusse appena giunto in cantiere fu la rotazione della pianta di 90°, rispetto ai primi progetti, cioè con l'altare maggiore verso via Falcone e l'ingresso verso l'attuale via Torino, per restituire gli spazi maggiori al pubblico in pellegrinaggio.

Il finto coro della chiesa di Santa Maria presso San Satiro è una struttura, realizzata in mattoni e decorata con terracotta e stucchi dipinti, creata per risolvere il problema della limitazione di una chiesa con pianta a T dando l'illusione dell'esistenza di una vera abside.

Tale struttura è contraddistinta da una volta con cassettoni a bassorilievo che incornicia la grande lunetta con raffigurato il Miracolo della Vergine pugnalata da Massazio. Sotto, sempre a bassorilievo, sono riprodotte tre campate con pilastri e archi che simulano l'esistenza di navate minori laterali concluse da un fondale al quale poggia il più recente altare che incornicia l'affresco duecentesco della Vergine con il Bambino.

Il finto coro della chiesa fu progettato e verosimilmente realizzato da Donato Bramante contemporaneamente all'intera costruzione dell'edificio, dunque fra il 1482 e il 1486. Infatti, la struttura della finta prospettiva simula un prolungamento della navata centrale con la presenza di tre campate, con pilastri e archi, e suggerisce l'esistenza di navate minori laterali per mezzo di un ordine minore: tutto ciò poteva essere stato pensato solo contemporaneamente alla progettazione e realizzazione di quelle che sono le reali navate della chiesa.

Durante il governo di Ludovico il Moro, Milano conobbe un vero e proprio periodo d'oro, con la presenza a corte di artisti come Leonardo e Bramante e matematici come Luca Pacioli.

Nel 1479 Ludovico Sforza ritorna a Milano e assume la reggenza del giovane nipote Gian Galeazzo Sforza, che era diventato duca di Milano dopo la morte del padre Galeazzo Maria assassinato nella chiesa di Santo Stefano.  Nel 1489 Ludovico assume definitivamente il potere e nel 1495 è incoronato in Duomo come duca di Milano. Dopo 4 anni, le truppe di Luigi XII re di Francia invadono Milano e Ludovico il Moro fugge a Innsbruck.

Nello stesso anno, Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia.

Nel 1823 Giuseppe Diotti (1779 – 1846) dipinse la famosa tela “La corte di Ludovico il Moro”, dove vengono rappresentati intellettuali e artisti chiamati da ogni parte d’Italia a contribuire al rinnovamento di Milano. Nel quadro viene raffigurato Leonardo da Vinci mentre mostra al duca il disegno dell’Ultima cena. Partendo da sinistra sono rappresentati:

·       il segretario di Stato, Bartolomeo Calco mentre entra nella stanza,

·       il ragazzo che apre la porta

·       il matematico Fra’ Luca Pacioli

·       Donato Bramante

·       il cardinale Ascanio Sforza

·       La duchessa Beatrice d’Este

·       Ludovico Sforza detto il Moro

·       il musico Franchino Gaffurio da Lodi

·       Leonardo da Vinci

·       il poeta Bernardo Bellincioni da Firenze

·       lo storico Bernardino Corio

Come anticipato, tra le prime opere in cui si misurò Donato Bramante per Ludovico il Moro ci fu la ricostruzione della chiesa di Santa Maria presso San Satiro. Fu progettato un corpo longitudinale a tre navate, con uguale ampiezza tra navata centrale e bracci del transetto, entrambi coperti da poderose volte a botte con cassettoni dipinti. L'incrocio dei bracci presenta una cupola, immancabile motivo bramantesco, ma l'armonia dell'insieme era messa a rischio dall'insufficiente ampiezza che, nell'impossibilità di estenderlo, venne "allungato" illusionisticamente, costruendo una finta fuga prospettica in stucco in uno spazio profondo meno di un metro, con tanto di volta cassettonata illusoria.

Leonardo da Vinci fu ospite di Milano in diversi periodi, in modo continuativo dal 1482 al 1499, e poi in varie occasioni tra il 1506 e il 1513.

Con il primo esempio di Curriculum Vitae, Leonardo si propose al signore della città come esperto di tecniche militari e in quell'occasione scrisse la famosa "lettera d'impiego" di nove paragrafi, in cui descriveva innanzitutto i suoi progetti di ingegneristica, di apparati militari, di opere idrauliche, di architettura, e solo alla fine, di pittura e scultura, di cui occuparsi in tempo di pace, tra cui il progetto di un cavallo di bronzo per un monumento a Francesco Sforza.

Più precisamente, la lettera, conservata nel Codice Atlantico, elenca tutte le sue competenze:

·      costruire ponti

·      togliere acqua dai fossati

·      “ruinare” rocche e fortezze

·      scavare cunicoli

·      costruire bombarde

·      costruire mortai

·      costruire imbarcazioni da guerra

·      costruire carri armati

Solo in coda, quando si dice la modestia, esibisce le sue doti di scultore, architetto e infine di pittore.

Altri esempi degni di nota, dove l’architettura modifica la percezione dello spazio, ingannando l’osservatore in merito alle reali dimensioni, sono, ad esempio, il Teatro Olimpico: un teatro progettato dall'architetto rinascimentale Andrea Palladio nel 1580, situato a Vicenza, e la galleria di Palazzo Spada, a Roma, realizzata da Francesco Borromini.

Le sette meraviglie prospettiche in architettura (didatticarte.it)

Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento italiano - Wikipedia

Arte del Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento lombardo - Wikipedia

Sovrani di Milano - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 141. Regola del 72

1476    Galeazzo Maria Sforza è assassinato in S.Stefano

1479    Ludovico il Moro rientra a Milano e assume la reggenza del nipote

1480    Bramante si trasferisce da Bergamo a Milano

1482    Leonardo giunge a Milano

1489    Ludovico il Moro assume il potere

1490    Isabella d’Aragona sposa il duca Gian Galeazzo (nipote di Ludovico)

1491    Beatrice d’Este sposa Ludovico il Moro

1495    Ludovico il Moro è incoronato in Duomo come duca di Milano

1495    Leonardo inizia i lavori al Cenacolo di Santa Maria delle Grazie

1499    Ludovico il Moro fugge a Innsbruck

1499    Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia

 Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come:    i ²  =  -1

Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:

                                  i ⁱ  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i, con pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i cambiato di segno:

(0.20787957…)ⁱ   =   ( i ⁱ )ⁱ   =   i ^i . i  =  i ^-1  =  1 / i  =  - i

Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:

i         0,2078796…       -i         4,8104773…       e di nuovo    i

Piano complesso di Argand-Gauss

L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 2³è differente da 3²; inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo: 

ad esempio, (2³)² = 8² = 64, mentre 2^{(3^2)} = 2⁹ = 512. 

Cioè, quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:

0,207879

0,947159 + 0,320764 i

0,050092 + 0,602116 i

0,387166 + 0,030527 i

0,782276 + 0,544607 i

0,142562 + 0,400467 i

0,519786 + 0,118384 i

0,568589 + 0,605078 i

0,242365 + 0,301151 i

0,578489 + 0,231530 i

0,427340 + 0,548231 i

0,330967 + 0,262892 i

0,574271 + 0,328716 i

0,369948 + 0,468173 i

0,400633 + 0,263120 i

…………

Piano complesso di Argand-Gauss

Si può dimostrare che questa serie converge alla soluzione complessa di

z  =  i ^z       con   z  =  0,4382829 + 0,3605924 i  =  re^iϑ

                      r = 0,5675551,   ϑ = 0,6884532

A077589 (parte reale di z)                    A077590 (parte immaginaria di z)

A212479 (valore assoluto di z)             A212480 (argomento di z)

Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:

e ^iπ  =  -1

e da questa si può subito ricavare          ln (-1)  =  i π

Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:

e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.

Iterating complex powers

sequences and series - Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange

Imaginary Powers | Math in Matter

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i                         arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                             arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                         arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                             arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                               arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                             arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                            arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                           arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                               arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                             arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                             arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                           arccoth (i) = -0.7854i

Calcolatrici x numeri complessi:   

http://www.calcinator.com/scicalc.html

Complex number calculator

Per approfondire si possono consultare i link:

• Exponentiation - Wikipedia
• Formula di De Moivre
• Identità di Eulero
• Piano complesso
• Radice dell'unità
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Storia dei numeri complessi
• Teorema fondamentale dell'algebra
• Leonhard Euler
• Caspar Wessel
• Jean-Robert Argand
• Carl Friedrich Gauss
• http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

Abstract -  Complex numbers

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      L'ipotenusa DEVE essere dispari(altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove pè il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasiè pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo stesso e la misura del suo perimetro:  R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: dimostrare che   ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER