Spesso lo spazio viene visualizzato come un foglio di gomma incurvato dal Sole posizionato al centro del foglio stesso, ma questa visione è abbastanza fuorviante e ingannevole.
Mentre è vero che il Sole introduce una piccola quantità di curvatura spaziale, la forza di gravità newtoniana che sentiamo è dovuta quasi interamente alla curvatura del tempo. La curvatura spaziale introduce solo una piccola correzione, che fino alla seconda metà del XX secolo, si manifestava nell'unico effetto osservabile della curvatura spaziale: l’avanzamento del perielio di Mercurio. In altre parole, ciò che sperimentiamo come gravità ha a che fare con le (lievissime) differenze alla velocità degli orologi, a seconda della loro distanza dalla sorgente di gravità.
Le orbite sono ciò che sono perché i pianeti si muovono non solo nello spazio, ma anche nel tempo, seguendo la loro geodetica nello spazio-tempo. In assenza di gravità queste geodetiche sarebbero linee rette. La presenza del Sole curva le geodetiche verso la sorgente della gravità stessa. Quindi la flessione della loro traiettoria spazio-temporale si manifesta come un'orbita curva attorno al Sole. Questo significa semplicemente che lo stesso pianeta, ad esempio la Terra che si sposta "di lato nello spazio" a 30 km/s, procede anche “in avanti nel tempo” a quasi 300.000 km/s, e sarà la "curvatura temporale" dello spazio-tempo che deciderà (quasi esclusivamente) il destino della sua traiettoria.
Dopo aver fatto questa premessa, occupiamoci un po’ di come la curvatura modifica la nostra realtà. Ad esempio, sappiamo tutti dai nostri studi scolastici che, nella geometria euclidea, le formule per il calcolo di circonferenza e area di un cerchio sono le ben note:
Come si è già visto nel precedente post:
il valore di Pi Greco 3,14159 … è tale solo nel caso del piano euclideo, ma se cominciamo a curvare lo spazio, ci rendiamo conto che può assumere il valore che vogliamo; non solo, dato uno spazio a curvatura costante, cambia in funzione del raggio della circonferenza. Vediamo qualche esempio.
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Nella seguente tabella possiamo vedere che a in alcuni specifici casi, nella geometria sferica il rapporto è un numero intero: ad esempio per un angolo pari a 30 gradi il rapporto vale 6, mentre per 90 gradi vale (ovviamente) 4, e quello che potremmo identificare con Pi Greco vale la metà, rispettivamente 3 e 2.
Nella geometria iperbolica si possono avere i valori interi maggiori di 6.
Attenzioneperò, il "Pi Greco" che usiamo per il calcolo dell’area non coincide con “quello” usato per il calcolo della circonferenza:
Cioè possiamo verificare che il valore di Pi Greco, definito come rapporto tra circonferenza e diametro oppure come rapporto tra area e quadrato del raggio, nel caso della geometria euclidea è la stessa cosa, mentre sulla superficie della sfera assume valori differenti.
Vengono qui di seguito riportate alcune utili formule:
E per finire una bella foto di colui che di spazi curvi se ne intendeva:
