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220. Everest

October 23, 2016, 2:08 pm
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Il monte Everestè la vetta più alta della Terra (8.848 m). Il nome fu introdotto nel 1865 dall'inglese Andrew Waugh(1810 – 1878), governatore generale dell'India, in onore di Sir George Everest (1790 – 1866), suo predecessore nel posto di ispettore generale dell'India, che lavorò per molti anni come responsabile di geografi e cartografi britannici in India. George aveva molti fratelli e nipoti. Una di queste nipoti era Mary Everest (1832 – 1916) figlia dell’eccentrico reverendo Thomas Roupell Everest. Da bambina Mary aveva mostrato una certa attitudine per la matematica ed i suoi genitori decisero di farla seguire da un tutor di 17 anni più anziano, al quale era legata da profonda amicizia. All’età di 23 anni, dopo la morte del padre, era caduta in miseria e alla proposta di matrimonio del tutor accettò di sposarsi. Ebbero 5 figlie, ma il matrimonio durò appena 9 anni. Nell’autunno del 1864, il marito aveva percorso 5 chilometri a piedi sotto la pioggia, mentre si recava ad insegnare all’University College Cork (UCC) in Irlanda. La cosa tragica è che probabilmente la sua morte fu affrettata dalle pericolose teorie della moglie, che a quanto pare lo “curava per similia” facendolo coricare tra lenzuola inzuppate nell’acqua fredda. Se ne andava così per una polmonite, all’età di 49 anni, George Boole(1815 – 1864) considerato il fondatore della logica matematica.


La vita di George Boole

Nasce a Lincoln, in Inghilterra, il 2 novembre 1815 e cresce in povertà, studiando da autodidatta greco, latino, francese, tedesco e italiano. Studia anche matematica sui testi di Giuseppe Luigi Lagrange e Pierre-Simon de Laplace. In seguito si dedica allo studio di metodi algebrici per la risoluzione di equazioni differenziali e la pubblicazione dei suoi risultati gli fa ottenere la medaglia della Royal Society.

Nel 1849 riceve la nomina alla cattedra di matematica al Queen's College di Cork, in Irlanda, dove insegnerà per tutto il resto della vita. Ed è proprio a Cork che George Boole si spegne l'8 dicembre 1864.

I più grandi meriti che vengono attribuiti a George Boole sono l'applicazione del calcolo simbolico alla logica. Con il suo "The Mathematical Analysis of Logic" (1847), Boole propone l'associazione tra logica e matematica al posto di quella fra logica e metafisica; in sostanza pone la logica sullo stesso piano della scienza, delle leggi dei simboli, attraverso i quali si esprimono i pensieri. La sua opera più importante è "An Investigation of the Laws of Thought" (1854), indirizzata alle leggi del pensiero, con la quale viene proposta una nuova impostazione della logica, riconducendo le composizioni degli enunciati a semplici operazioni algebriche, dopo aver rilevato le analogie fra oggetti dell'algebra e oggetti della logica (algebra booleana).

La sua terza figlia, Alicia Boole, fu anch'essa un'importante matematica: a lei si deve il termine "politopo", per riferirsi ad un solido convesso a 3 o più dimensioni come equivalente dei poligoni; i poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi  (vedi 218. 1, 2, 3,tanti).






In piedi le 5 figlie: Margaret (1858-1935), Ethel Lilian (1864-1960), Alice (1860-1940), Lucy (1862-1905) e Mary Ellen (1856-1908).  Davanti: Julian & Geoffry I. Taylor, Mary Everest Boole, Leonard Stott, George Hinton e Mary Stott (seduta in braccio a Mary Everest Boole). Foto: Whitely of London, copyright UCC.





Gli operatori dell'algebra booleana possono essere rappresentati in vari modi, ma spesso sono scritti semplicemente come AND, OR e NOT che è la scrittura che viene utilizzata per parlare degli operatori booleani.
Le diverse simbologie per rappresentare gli operatori sono scelte in base al campo in cui si lavora: i matematici usano spesso il simbolo + per l'OR, e X o * per l'AND, in quanto per alcuni versi questi operatori lavorano in modo analogo alla somma e alla moltiplicazione. La negazione NOT viene rappresentata spesso da una linea disegnatasopral'argomento della negazione, cioè dell'espressione che deve essere negata.

Boole individuò un sistema per formulare questo tipo di ragionamenti per mezzo di un’algebra delle classi: le classi venivano indicate come lettere (ad esempio, x) così come già venivano utilizzate per rappresentare numeri nell’algebra ordinaria. Se x ed y rappresentavano due classi, Boole indicava con xy la classe degli oggetti che stavano sia in x che in y: in qualche modo, stava assimilando questa nuova operazione fra classi alla moltiplicazione numerica. Sussisteva, però, una differenza sostanziale: se xè la classe dei gatti rossi, allora xxè ancora la classe dei gatti rossi. Ossia, nella nuova algebra che stava nascendo era sempre valida l’equazione  xx = x; questo assioma segna un distacco dall’algebra ordinaria.

Il passo successivo fu trovare un’analogia con le equazioni dell’algebra, dove xx = xè vera se e soltanto se x = 0 oppure x = 1. Dunque, l’algebra della logica coincide con l’algebra ordinaria limitata ai due soli valori 0 e 1. I due valori 0 e 1 andavano, quindi, interpretati come classi. Per capire, però, in che modo consideriamo le moltiplicazioniper 0 e per 1 nell’algebra ordinaria: qualunque sia il valore di x,

0.x = 0        1 .x = x

Se interpretiamo le due identità sopra nel linguaggio delle classi, esse sono vere quando indichiamo con:

  • 0la classe che non contiene alcunché, che oggi chiamiamo insieme vuoto,
  • 1la classe che contiene qualunque entità cui possiamo pensare, che potremmo chiamare universe.
Rimaneva ancora da interpretare, nella nuova algebra, l’altra operazione definita nell’algebra ordinaria: l’addizione. Boole stabilì che x+yrappresentava la classe contenente tutto ciò che è contenuto in x o in y.

Boole individuò nella sua algebra anche l’operazione inversa dell’addizione: x - ydenota la classe contenente tutto ciò che è contenuto in x ma non è contenuto in y.
In particolare, 1 - x, la classe complemento di x, rappresenta tutto ciò che non è contenuto in x. Allora, x+ (1 - x) = 1; ossia, qualunque oggetto deve essere in una classe o nel suo complemento: una rilettura del principio del terzo escluso di Aristotele.

Utilizziamo, ora, la notazione x2 per indicare xx e vediamo come possiamo interpretare la regola fondamentale di Boole xx = x : tale regola può venire scritta come x2 = x da cui, applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni dell’algebra ordinaria, otteniamo x2 - x = 0. Possiamo quindi raccogliere a fattor comune e ottenere x (1 - x) = 0; ossia, niente può sia appartenere che non appartenere a una classe. Per Boole questo fu un risultato entusiasmante, che rafforzò la sua convinzione di essere sulla strada giusta: infatti, questa equazione esprimeva proprio quel principio di non contraddizione che Aristotele ha descritto come l’assioma fondamentale di tutta la filosofia.




http://www.treccani.it/enciclopedia/terzo-escluso-principio-del_(Dizionario-di-filosofia)/


 

 
La logica da Aristotele a Godel
 
Con la fisica moderna (la meccanica quantistica) si è però passati da una logica aristotelica o del terzo escluso, ad una eraclitea (antidialettica) che invece lo include sostituendo il principio di non contraddizione con quello di complementare contraddittorietà; potendo un quanto essere e non essere contemporaneamente due rappresentazioni opposte di una stessa realtà: particella ed onda. Cosa che poi rappresenta il vero paradosso del divenire della realtà in generale quando "nello stesso fiume scendiamo e non scendiamo; siamo e non siamo" (Eraclito).
 
 

 



 










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221. Una proprietà della Catenaria

November 6, 2016, 7:55 am
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La successione di Didone al trono di Belo, re di Tiro, di cui era figlia primogenita, fu contrastata dal fratello Pigmalione, che le uccise segretamente il marito Sicheo e prese il potere al suo posto. Probabilmente con lo scopo di evitare la guerra civile, Didone lasciò Tiro con un largo seguito e cominciò una lunga peregrinazione, le cui tappe principali furono Cipro e Malta.

Approdata infine sulle coste libiche, Didone ottenne dal re Iarba il permesso di stabilirvisi, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue". L'antico soprannome di Cartagine, infatti, era "Birsa", che in greco significa "pelle di bue". Didone scelse una penisola, tagliò astutamente la pelle di toro in tante striscioline e le mise in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città di Cartagine e riuscì a occupare un terreno di circa ventidue stadi quadrati (uno stadio equivale a circa 185,27 m). Da questa leggenda è nato il cosiddetto problema di Didone.


Cartagine




Didoneè una figura mitologica, fondatrice e prima regina di Cartagine. Secondo la narrazione virgiliana si innamorò dell'eroe troiano Enea, figlio di Anchise, quando si rifugiò a Cartagine prima di arrivare nel Lazio, e lo sposò. Disperata per la partenza improvvisa di Enea, costretto dal Fato, Didone si uccise con la spada di Enea.

Con la corda composta dalle striscioline, la principessa fece congiungere le rive dai lati opposti dell’altura, acquisendo così la proprietà della collina ed un comodo sbocco sul mare; inoltre viene specificato che Didone fece disporre la corda a forma di semicerchio in modo da racchiudere la maggior area possibile.Questo racconto alimentò la curiosità dei matematici: infatti porta con sé la questione del perché Didone avesse scelto proprio la forma semicircolare per delimitare quella che riteneva essere la maggior superficie possibile.Il problema, chiamato spesso problema isoperimetrico, si può riformulare chiedendo quale sia la figura geometrica che a parità di perimetro ha area maggiore. La soluzione è intuitivamente il cerchio. Per dimostrare questo risultato si dovette attendere il 1838 quando Jakob Steiner ci riuscì mediante un processo noto come simmetrizzazione di Steiner. Successivamente la sua dimostrazione fu perfezionata e resa più rigorosa da altri matematici come Karl Weierstrass.

Si tratta di ottenere il massimo risultato con un dato sforzo o viceversa un risultato desiderato con il minimo sforzo. Da questa doppia formulazione dello stesso problema, vediamo che non vi è alcuna differenza essenziale fra massimo e minimo, cioè possiamo semplicemente parlare di valori estremi. Un campo in cui il principio di minimo si è mostrato utile è la statica, la scienza dell’equilibrio. Un corpo che si muove su una superficie liscia sotto l’influenza della forza di gravità, si ferma in equilibrio stabile nel punto più basso. Se abbiamo un sistema meccanico formato da diversi corpi, come ad esempio una collana di perle, il centro di gravità del sistema all’equilibrio sarà situato il più in basso possibile. In altre parole, per trovare l’equilibrio stabile, si deve cercare la posizione in cui l’altezza del baricentrosia un minimo. Il prodotto di questa altezza per la forza di gravitàè chiamato energia potenziale. Una catena, costituita da moltissime parti e sospesa agli estremi, assume una forma definita dalla condizione che l’altezza del suo baricentro sia un minimo. Abbiamo a che fare con un problema variazionale e fra le infinite curve di ugual lunghezza, quella con il baricentro più basso viene chiamata catenaria.



Da Wikipedia- In matematica, la catenariaè una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.
L'equazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico: 
 






 

Il problema era già stato considerato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo Galilei credette che la parabola potesse essere l’equazione giusta, ma in seguito nel 1669 il matematico tedesco Joachim Jungius dimostrò che non era così. Ma furono Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli a ricavare nel 1691 l’equazione corretta, che, al contrario della parabola, era una curva non algebrica. Galilei non aveva però sbagliato del tutto; nella catenaria la distribuzione del peso della catena è uniforme per ogni lunghezza di arco, mentre nei ponti sospesi, dove alla catena sono appesi i tiranti che sostengono il ponte, la distribuzione del peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza e la curva è in questo caso una parabola. Nel caso di una vela gonfiata dal vento si ottiene la stessa curva, solo che viene chiamata velaria. Abbiamo già detto in un precedente post, che tra le proprietà della catenaria c’è quella di essere l’evoluta di una trattrice.

Si può provare che la catenaria è la curva cercata da Eulero che soddisfa la condizione: la superficie ottenuta dalla rotazione della catenaria è detta catenoide ed è la superficie di area minima che ha come bordo due circonferenze nello spazio poste su piani paralleli.

Catenoide







Se si considera una linea retta parallela all’asse delle x (con equazione y = k), I’area compresa nell’intervallo [a,b] è semplicemente quella del rettangolo di lati “k” e “b-a”. Si può anche dire che l’area è proporzionale alla lunghezza del segmento della curva (in questo caso della retta).

Ebbene, esiste un’altra curva che possiede la stessa proprietà: la catenaria.


a = A = b = B







 










 
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222. Paralipomeni e DNA

November 27, 2016, 3:56 pm
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Cominciamo con un'aggiunta di cose precedentemente tralasciate (paralipomeni- dal greco paraleipómena, appunto omettere o tralasciare).
Nel post 221 abbiamo visto come Didone, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue", riuscì ad ottenere il terreno per fondare Cartagine, tagliando la pelle di un toro in tante striscioline e mettendole in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città, riuscendo a occupare un terreno di poco meno di 1 km2. Da un rapido conto si può vedere che tagliando in striscioline larghe 2 mm, una pelle di toro di 4 m2, unendole una all’altra, si ottiene una lunghezza totale di 2 km. Se Didone avesse fatto strisce più sottili avrebbe potuto prendere più terreno.

Andiamo ora nel diciannovesimo secolo.

Era il 1868 e il chimico, medico e fisiologo tedesco Friedrich Miescher, da alcune cellule di pus, preleva quello che tempo dopo si sarebbe chiamato acido nucleico. Passano 20 anni. Albrecht Kossel, biologo svizzero, ne scopre i costituenti: acido fosforico, zucchero e basi azotate. Negli anni venti si scopre che quando lo zucchero è desossiribosio, si ha l’acido desossiribonucleico o DNA. Tralascio alcuni studi, anche se importanti, e arrivo al 1944, quando Erwin Schrödinger (quello della famosa equazione) pubblica il famoso libro “Che cos’è la vita” dove vengono elaborate e raccolte le lezioni da lui tenute al Trinity College nel febbraio del 1943. La questione centrale è “come la cellula sia governata da un codiceinscritto nei geni” e Schrödinger suggerisce l’ipotesi che la molecola del gene deve essere un cristallo aperiodico, formato da una sequenza di elementi isomerici che costituiscono il codice ereditario. Tale codice contiene il piano di sviluppo dell’organismo.




Dieci anni più tardi, nel 1953, Francis Crick, James Watson,Rosalind Frankline Maurice Wilkin scopriranno la struttura del DNA. La struttura a doppia spirale del DNA e il meccanismo di duplicazione nel corso della divisione cellulare (mitosi) permettono a ciascuna delle 2 spirali di generare la sua controparte fabbricando le basi necessarie. Anche il famoso chimico Linus Paulingaveva intrapreso la stessa strada, ma senza portare a termine le ricerche. Pauling era stato professore di Crick e Watson; a quel tempo aveva già scoperto molte strutture della chimica organica. Come aneddoto ricordo che il ruolo ispiratore di Pauling fu comunque riconosciuto dalla giuria del premio Nobel che, nello stesso anno in cui premiò Crick e Watson, attribuì anche a lui il premio Nobel (ma per la Pace).




Il peso medio di ogni coppia di basi (Adenina-Timina o Citosina-Guanina) è di 650 dalton (1 daltonè definito come la massa di un atomo di Idrogeno, 1.67 x 10-24 grammi). Una molecola di DNA ha un corredo di circa 3.3 miliardi di paia di basi e un peso medio di 3.3 x 109x 650 Dalton = 2.15 X 1012 Dalton =  3.59 x 10-12grammi.




Se stiriamo le 2 spirali ponendole in serie, l’estensione sarà poco meno di 2 metri. Allineando tutte le molecole di DNA, contenute nelle cellule di un corpo umano, copriremmo 600 voltela distanza Terra-Sole andata e ritorno!

In un adulto di 80 kg ci sono circa 8 x 1027 atomi. In media, l’87% degli atomi sono Idrogeno o Ossigeno. In una tipica cellula umana ci sono circa 1014 atomi, ed è interessante notare che il numero di cellule nel corpo umano è anch’esso circa 1014.

In modo analogo in una galassia media ci sono circa 2 x 1011 stelle e nell’Universo sono stimate circa 2 x 1011galassie. Questo sembra più di una semplice coincidenza.








 
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223. Teorema di Pitagora

December 27, 2016, 4:51 pm
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Nel numero di dicembre 2016 della rivista “Le Scienze”, Piergiorgio Odifreddi ci parla dell’arte di sbagliare i calcoli, ed in particolare distilla diverse idee riguardanti analisi delle probabilità e statistica. Non ripeterò qui quanto descritto nell’articolo, ma prenderò spunto da questo per un paio di post.

Primo dei due post:

Jean Paul de Gua de Malves (Carcassonne, 1713 – Parigi, 1785) è stato un abate, matematico ed economista francese. Gua de Malves era pienamente introdotto nell'ambiente dei filosofi francesi durante l'ultimo periodo dell'Ancien Régime e fu uno dei primi scienziati coinvolti nella compilazione dell'Encyclopédie, della quale fu coordinatore principale dal 1745 al 1747, quando il suo posto fu preso da Denis Diderot.

Pitagora(Samo, 570 a.C. circa – Metaponto, 495 a.C. circa) è stato un filosofo greco. Quasi sicuramente non lasciò nulla di scritto e anche le opere a lui ascritte, vanno attribuite ad autori sconosciuti, che vissero in epoca cristiana o di poco antecedente. Pitagora è considerato l'iniziatore del vegetarianismo in Occidente grazie ad alcuni versi delle Metamorfosidi Ovidio, che lo descrivono come il primo degli antichi a scagliarsi contro l'abitudine di cibarsi di animali, reputata dal filosofo un'inutile causa di stragi, dato che la terra offre piante e frutti sufficienti a nutrirsi. Il teorema per cui il filosofo è famoso era già noto agli antichi Babilonesi ed era conosciuto anche in Cina e in India, ma alcune testimonianze riferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validità.

Enunciato: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente all'unione dei quadrati costruiti sui cateti.

Il teorema di Pitagora si incontra in qualsiasi ambito della matematica e della fisica. La sua dimostrazione è abbastanza semplice ed intuitiva.

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem
  

Una sostanziale generalizzazione del teorema di Pitagora a 3 dimensioni è il teorema di de Gua: se un tetraedro ha un angolo retto (come un angolo di un cubo), quindi il quadrato della zona del viso fronte l'angolo retto è la somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce.



Esempio: si voglia calcolare l’area del triangolo ABC di Figura 1 (dove i punti A, B e C, non hanno necessariamente lo stesso valore). Se invece prendiamo 3 punti posizionati a distanza unitaria dall’origine, ognuno dei 3 triangoli ha area 0,5, mentre il triangolo ABC misura 0,866 (radice di 3, fratto 2).

Un'altra generalizzazione del teorema di Pitagora, introdotta da Donald R. Conant e William A. Beyer, si applica a una vasta gamma di oggetti e insiemi di oggetti in qualsiasi numero di dimensioni.




Mi piace pensare che la nostra sia una visione limitata del problema e che in realtà il teorema di Pitagora sia un caso molto particolare di un teorema con validità molto più ampia.

 
























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224. Statistiche

January 22, 2017, 3:18 pm
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I mesi di settembre ed ottobre del 1927 furono un periodo ricco di incontri e scambi di idee che hanno contribuito alle scoperte della fisica del ventesimo secolo.

Per celebrare Alessandro Volta nel primo centenario della morte, venne organizzato, nella sua città natale Como, un Congresso internazionale destinato a diventare un evento estremamente significativo nella storia della fisica moderna. Aperto l'11 settembre da Quirino Majorana, presidente dalla Società italiana di fisica e zio di Ettore, si concluse il 27 settembre. In un momento nel quale la meccanica quantistica va definendo le basi di una nuova visione del mondo, sono invitati a Como tutti i protagonisti di quello straordinario fermento. Solo Albert Einstein non partecipa, per la sua ferma opposizione al governo italiano.

Dei 61 partecipanti, alcuni sono giovanissimi: Wolfgang Pauli ha 27 anni, Werner Heisenberg, Enrico Fermi e Franco Rasetti ne hanno 26, Paul Adrien Maurice Dirac 25, Emilio Segrè 22. Sono presenti molti premi Nobel per la fisica: Niels Bohr (1922), William Lawrence Bragg (1915), Arthur Compton (1927) James Franck(1925), Hendrik Antoon Lorentz(1902), Guglielmo Marconi (1909), Robert Andrews Millikan (1923), Max Planck (1918), Max von Laue (1914), Pieter Zeeman (1902), oltre ai premi Nobel per la chimica Francis William Aston (1922) e Ernest Rutherford (1908). I presenti che presero il Nobel successivamente furono: Max Born (1954) e Otto Stern (1943), oltre ai già citati Heisenberg (1932), Dirac(1933), Fermi (1938), Pauli (1945) e Segrè (1959). 
Fermi, Heisenberg e Pauli

 

Un mese dopo, più o meno gli stessi fisici si riunirono a Bruxelles dal 24 al 29 ottobre 1927 per il quinto Congresso Solvay, il cui titolo era: Elettroni e fotoni. Benjamin Couprie, fotografo ufficiale dei congressi Solvay, ne immortalò i partecipanti:

Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Édouard Herzen, Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph H. Fowler, Léon Brillouin, Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Dirac, Arthur Compton, Louis de Broglie, Max Born, Niels Bohr, Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen Willans Richardson.
 





L’aspetto che voglio però mettere in risalto qui di seguito, è come nei pochi anni che precedettero il 1927, alcuni giovani fisici, siano riusciti a formulare i concetti che stanno alla base della meccanica quantistica e della fisica atomica, e per farlo comincio da una delle pietre miliari della fisica. Il principio di esclusione di Pauli venne enunciato nel 1925 per la spiegazione della struttura atomica, ma successivamente trovò un inquadramento nella teoria quantistica assiomatica. Dall’inizio degli anni venti erano alla ricerca di un modello teorico che, partendo dal modello atomico di Bohr per l’atomo di idrogeno, riuscisse a spiegare le osservazioni sperimentali. Nel 1922 Pauli, su invito di Bohr, si recò a Copenaghen per dedicarsi all’effetto Zeeman anomalo, che consisteva nella separazione di un livello energetico in un multipletto, a seguito dell’applicazione di un campo magnetico. Dopo accurata analisi, Pauli arrivò alla conclusione che sembrava necessario associare all’elettrone una nuova proprietà fisica a 2 valori non prevista in precedenza. Nel 1925 George Uhlenbecke Samuel Goudsmit introdussero l’ipotesi che l’elettrone ruotasse intorno al proprio asse con un momento angolare intrinseco che fu chiamato spin.

Ma veniamo alle varie statistiche

Da un punto di vista classico, la meccanica statistica permette di poter caratterizzare lo studio di un sistema con un numero di particelle non interagenti molto grande, dell'ordine del numero di Avogadro, attraverso grandezze macroscopiche, come temperatura, energia libera, pressione o volume.

Il problema principale della meccanica statistica consiste nella ricerca della legge di distribuzioneper un sistema che si trovi ad una temperatura assegnata. Questo problema ha avuto per la prima volta una soluzione parziale da parte di Maxwell (gas costituito da molecole puntiformi), la soluzione generale è stata ricavata da Boltzmann. Senza entrare troppo nei dettagli, lo stato di ciascuna molecola si può rappresentare come un punto in un opportuno spazio delle fasi (che di solito rappresenta tutte le possibili posizioni e velocità di ogni molecola). Se pensiamo di suddividere lo spazio delle fasi in tante cellette, aventi lo stesso ipervolume di dimensioni opportune, e di segnare in questo spazio tutti i punti che rappresentano gli stati in cui si trovano le varie molecole ad un certo istante, con un calcolo probabilistico si può ricavare la legge di densità che determina direttamente la distribuzione statistica delle molecole. Come anticipato sopra questo fu ricavato da Maxwell e Boltzmann nella seconda metà del diciannovesimo secolo.

La statistica di Bose-Einstein e la statistica di Fermi-Dirac sono approssimate dalla statistica di Maxwell-Boltzmann nel caso in cui siano coinvolte alte temperature o relativamente basse densità. Poiché la densità di occupazione degli stati dipende dalla temperatura, si hanno comportamenti diversi tra alta e bassa temperatura. Ad alta temperatura la maggior parte dei sistemi si colloca entro i limiti classici, ovvero le differenze sono trascurabili a meno che essi abbiano una densità molto alta, come ad esempio in una stella nana bianca.

Dopo più di 40 anni, lo studio di particelle come fotoni (che seguono la statistica di Bose-Einstein, da cui bosoni) e elettroni (che seguono la statistica di Fermi-Dirac, da cui fermioni) portarono al concetto di particelle identiche. I bosoni, contrariamente ai fermioni, non seguono il principio di esclusione di Pauli: cioè un numero illimitato di bosoni può occupare lo stesso stato energetico contemporaneamente. In fisica statistica particelle identiche (o indistinguibili) sono particelle che non possono essere per principio distinte le une alle altre. Questo fatto ha importanti conseguenze in meccanica statistica. Infatti in meccanica statistica ci si basa su argomenti probabilistici che a loro volta sono influenzati dal fatto che gli oggetti studiati siano identici o invece esista la possibilità, almeno in linea di principio, di riuscire a distinguerli. Come conseguenza, particelle identiche manifestano un comportamento sensibilmente differente da particelle che possano essere distinte.

La statistica di Bose-Einsteinè particolarmente utile nello studio dei gas, a differenza della statistica di Fermi-Dirac, utilizzata più spesso nello studio degli elettroni nei solidi. Per questi motivi esse costituiscono la base della teoria dei semiconduttori e dell'elettronica.

La statistica di Bose-Einsteinè stata introdotta nel 1920 da Satyendra Nath Bose per i fotoni ed è stata estesa agli atomi da Albert Einstein nel 1924. La statistica di Fermi-Dirac venne introdotta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac.

Fino al 1930 erano conosciute solo 3 particelle: elettrone, protone e fotone; inoltre dovrà passare molto tempo perché si arrivi a comprendere la connessione tra spin e statistica, la risposta fu data da Pauli nel 1940: sono bosoni le particelle con spin intero o nullo, mentre sono fermioni quelle con spin semi-intero.

Facciamo qualche esempio

2 particelle A e B possono trovarsi in 2 celle differenti: abbiamo quindi 4casi differenti per la statistica di Boltzmann, 3 per quella di Bose–Einstein e 1 solo caso per la statistica di Fermi-Dirac. 
 

Dalla figura si vede che è impossibile avere 2 fermioni nella stessa cella (principio di esclusione di Pauli), mentre la probabilità di avere 2 bosoni nella stessa cella è addirittura maggiore, cioè i fotoni hanno la tendenza a restare uniti.









 

 
1887 Heinrich Rudolf Hertz scopre l’effetto fotoelettrico
1896 Wilhelm Conrad Röntgen scopre i raggi X
1900 Max Planck enuncia la legge della radiazione del corpo nero
1905 Albert Einstein fornisce la spiegazione dell’effetto fotoelettrico
1911 Jean Perrin prova l’esistenza di atomi e molecole
1913 Niels Bohr presenta il suo modello atomico
1917 Albert Einstein introduce l’idea che porterà allo sviluppo del laser
1922 Arthur Compton dimostra l’aspetto corpuscolare dei fotoni
1924 Louis de Broglie suggerisce che l’elettrone può avere un aspetto ondulatorio
1924 Satyendra Bose e Albert Einstein introducono la statistica di Bose–Einstein
1925 Wolfgang Pauli enuncia il principio di esclusione per l’elettrone
1925 George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit postulano lo spin dell’elettrone
1925 Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan formulano la meccanica quantistica delle matrici
1926 Erwin Schrödinger formula la meccanica quantistica ondulatoria e ne prova l’equivalenza con la meccanica quantistica delle matrici
1926 Enrico Fermi scopre la connessione tra spin e statistica
1926 Paul Dirac introduce la statistica di Fermi–Dirac
1927 Werner Heisenberg enuncia il principio di indeterminazione
1927 Max Born interpreta la natura probabilistica della funzione d’onda
1928 Paul Dirac formula la teoria relativistica dell’equazione d’onda quantistica
1932 James Chadwick scopre il neutrone
1932 Carl D. Anderson scopre il positrone
 

 




 
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225. Spirale di Teodoro

February 6, 2017, 4:11 pm
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Se ad un segmento di lunghezza unitaria continuate ad aggiungere altri segmenti uguali, otterrete, ovviamente, che la lunghezza totale diventa 2, 3, 4, ecc. Se invece i segmenti uguali vengono aggiunti in modo di formare tanti triangoli rettangoli consecutivi, andranno a comporre la Spirale di Teodoro.
Mentre nel caso precedente ottenevamo la sequenza dei numeri interi, adesso abbiamo la sequenza delle radici quadrate dei numeri interi. Ad eccezione dei quadrati perfetti, come ad esempio 4, 9 e 16, sono una sequenza di numeri irrazionali.





Teodoro di Cirene (quinto secolo AC) verificò che 17 è il massimo numero di triangoli che si possono disegnare senza sovrapposizione; continuando con la costruzione della spirale il numero di triangoli in funzione dei giri per una singola, doppia, ecc. esposizione è il seguente: 17, 54, 110, 186, 281, 396, 532, 686, 861, 1055, 1269, 1503, 1757, 2030, 2323, 2636, 2968, 3320, 3692, 4084, 4495, 4927, 5377, 5848, 6338, ....



Con l’aumentare del numero di triangoli, la spirale di Teodoro può essere approssimata dalla spirale di Archimede, dove la distanza tra 2 bracci successivi tende a pi greco al crescere del numero di giri.





Si possono anche costruire spirali, con sequenze di triangoli rettangoli, dove appaiono numeri interi e irrazionali, ma con ruoli invertiti rispetto alla spirale di Teodoro:



I matematici estremi che volessero approfondire questi argomenti, possono leggere il libro di Julian Havil, The Irrationals: A Story of the Numbers You Can't Count On, dove l’Appendice A è dedicata alla spirale di Teodoro, che viene anche riportata nell’illustrazione di copertina:


 





 
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226. Moltiplicazioni non convenzionali

February 11, 2017, 5:09 pm
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“Al mondo ci sono 10 tipi di persone:

quelle che capiscono i numeri binari

e quelle che non li capiscono.”  


Ian Stewart

Tempo fa lessi che certe tribù etiopi per moltiplicare due numeri usano operazioni che permettono solo di addizionare, raddoppiare e dimezzare. Con piccole varianti questo tipo di moltiplicazione viene a volte chiamata moltiplicazione russa, o egiziana. Questo metodo non è di intuizione immediata e potete provare a capire come funziona, prima di leggere la seconda parte del post. Come esempio, proviamo a moltiplicare 12 per 15.
Tracciamo quindi due colonne: nella prima colonna scriviamo il primo numero da moltiplicare e lo dividiamo ogni volta per 2 fino ad arrivare a 1 (ignorando il resto se il numero è dispari). Nella seconda colonna scriviamo il secondo numero e, invece di dividere per 2, lo moltiplichiamo ogni volta per 2, fino ad arrivare in corrispondenza dell’1 posizionato sulla prima colonna.
Infine si deve fare la somma dei numeri sulla colonna di destra, scartando quelli che compaiono in corrispondenza di numeri pari sulla colonna di sinistra.


Il risultato è ovviamente 180. Ma perché funziona?Se si usano le potenze di 2 e si scrive 12 come somma di potenze di 2, si trova:  12 = 8 + 4  = 23 + 22.

Così 120 + 60 = (8 + 4) x 15 = 12 × 15. I numeri 15 e 30 della seconda colonna non vanno conteggiati perché corrispondono alle moltiplicazioni di 15 per 1 e per 2, cioè le potenze di 2 che non compaiono nella scomposizione di 12.

Il fatto che il numero sulla colonna sinistra sia dispari o pari (cioè che la divisione dia resto 1 o 0), ha come conseguenza che il numero sulla colonna di destra debba essere considerato o meno come addendo della sommatoria.






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227. Trappist - 1

March 4, 2017, 4:57 pm
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Chi legge questo blog avrà sicuramente sentito parlare della notizia che veniva data nell’apertura dei telegiornali lo scorso mese: la stella Trappist - 1, distante da noi 39anni luce in direzione della costellazione dell'Acquario, è circondata da ben 7 pianeti di dimensioni paragonabili a quelle terrestri, alcuni dei quali potrebbero essere simili al nostro anche per composizione e per la presenza di un'atmosfera e di un oceano di acqua liquida. Questo suggerisce che nella nostra galassia questo tipo di sistema potrebbe essere molto comune. Dalla Terra, Trappist – 1, ci appare come una debolissima stellina di magnitudine apparente 18,8. Si tratta di una Nana Rossa ultrafredda, con temperatura superficiale di 2.550 K e con una massa pari a circa 1/10 di quella solare. Nel diagramma di Hertzsprung-Russellsi trova posizionata in basso a destra.






Nella sola Via Lattea (la nostra galassia), le stelle come questa sono il 15% del totale. Questo sistema stellare risulta però molto più compatto del sistema solare. Il pianeta più interno orbita a 0,01 UA (1,5 milioni di km, che equivale ad 1/100 della distanza Terra-Sole) ed il più lontano ad appena 0,06 UA (9 milioni di km) dalla sua stella; per definizione la Terra orbita ad 1 Unità Astronomica, mentre Mercurio orbita a 0,4 UA ed è il pianeta più interno del sistema solare.  Ad orbite così strette corrispondono periodi di rivoluzione assai brevi, che variano tra 1,5 giorni a qualche settimana. TRAPPIST (Transiting Planets and Planetesimals Small Telescope - La Silla, Cile) è il nome di un piccolo telescopio ad altissima precisione studiato per rilevare i transiti di piccoli pianeti.
Al contrario di quanto riferito in alcuni telegiornali nazionali, Trappist - 1 non si trova in un’altra galassia, ma decisamente più “vicino” a noi.

Come confronto fornirò 3 esempi.
La stella più vicina è Proxima Centauri, distante 268.324 UA o circa 9.000 volte più lontana di Nettuno. Misurando la distanza in anni luce (dove 1 a.l. = 9.46×1012 km o 63,241 UA) si ha che Proxima Centauri dista 4,24 anni luce.
Il Centro Galatticodista 25.750 anni luce.
La galassia più vicina, Andromeda, dista 2.430.000 anni luce.
Capite quindi che un oggetto che si trova a 39,5 anni luce è decisamente “vicino”.





 

Pianeti extrasolari

Il primo pianeta extrasolare, 51 Pegasi b, è stato scoperto con il metodo della velocità radiale.
Invece il primo pianeta extrasolare scoperto con la tecnica del transitoè stato HD 209458 b, un pianeta tipo Giove che orbita la stella HD 209458 nella costellazione di Pegaso ed è distante 150 anni luce dalla Terra.

Il metodo del transito consiste nella rilevazione della diminuzione di luminosità della curva di luce di una stella quando un pianeta transita di fronte alla stella madre. La diminuzione è correlata alla dimensione relativa della stella madre, del pianeta e della sua orbita. Ad esempio nel caso di HD 209458, la diminuzione di luce è dell'ordine dell’1,7%. Si tratta di un metodo fotometrico che funziona solo per la piccola percentuale di pianeti la cui orbita è perfettamente allineata con il nostro punto di vista, però può essere utilizzato fino a grandi distanze.









 










 


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Search

228. Quasi

April 3, 2017, 3:17 pm
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“Fare ricerca significa essere ignoranti per gran parte del tempo e fare spesso errori.”

Yves Meyer

 


Questo simpatico signore è Yves Meyer, professore emerito all’Ėcole Normale Supérieure Paris-Saclay. In passato è stato insignito del premio Salem (1970) e del premio Gauss (2010); quest’anno l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuirgli il Premio Abel per il 2017. Se volete saperne di più, potete leggere qui:  http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=69563

L’interesse di Meyer per quelle che potrebbero essere chiamate le strutture e le regolarità di oggetti matematici complessi lo indusse negli anni Sessanta a elaborare una teoria sui “set di modelli”, ovvero un modo per descrivere sequenze di oggetti che non hanno la regolarità perfetta e la simmetria del reticolo cristallino. Questo lavoro, che prese le mosse dalla teoria dei numeri, fornì la base teorica per i materiali chiamati quasi-cristalli, individuati per la prima volta nel 1982 nelle leghe metalliche, ma prefigurati già nel 1974 dalle tassellature semiregolari identificate dal fisico-matematico Roger Penrose. La scoperta dei quasi cristalli valse nel 2011 a Dan Schechtman, professore di scienze dei materiali, il premio Nobel per la chimica. Meyer continuò a coltivare il suo interesse per i quasi-cristalli, e nel 2010, insieme a Basarab Matei, contribuì a spiegare la loro struttura matematica.


 

Ho-Mg-Zn     Quasi-cristallo


Potrei proseguire parlando di questi argomenti, ma preferisco concentrarmi sui numeri di Pisot-Vijayaraghavanche possono essere usati per generare quasi-interie studiare i quasi-cristalli: avendo la proprietà che la potenza n-esima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito.

In particolare il numero aureo  Φ (phi) possiede questa proprietà e non è difficile dimostrarlo  partendo dalla definizione del numero aureo stesso, ottenuto come prima soluzione dell’equazione: X2 - X - 1 = 0   ,   X1= 1,6180339887..  
La seconda soluzione è invece  X2= - 0,6180339887.., da cui, per la proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, si ottiene X1X2 = - 1   e  X1 + X2 = 1    con semplici passaggi algebrici si vede che il generico prodotto  (X1)n (X2)n= (-1)n  mentre la generica somma  (X1)n + (X2)n   non è altro che la Sequenza di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …) che ha una stretta relazione con la Serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Dal fatto che il secondo termine tende a zero, si ha che il numero aureoè un quasi-intero al crescere di n. Nel seguente grafico viene riportata la differenza tra la potenza n-esimadel numero aureo e l’intero più vicino:






E non è finita qui. Se mettete i valori assoluti dei moduli in un grafico con ordinate in scala logaritmica:




Per chiarimenti potete consultare il sito di Mauro Fiorentini:








 
La radice quadrata di 5 appare, quasi ovviamente, nei pentagoni e come visto nel numero aureo, ma la cosa matemagicaè che le 2 sequenze, che sono messe in relazione dalla radice quadrata di 5 (quindi irrazionale) possano essere entrambe quasi interee entrambe in stile Fibonacci.



Questo è il primo post della “Trilogia dei Penrose”, nel prossimo si parlerà di dardi ed aquiloni e poi probabilmente di vite parallele.

 








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229. Penrose

April 30, 2017, 3:48 pm
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Negli anni ’60, mentre era al lavoro su argomenti cosmologici con l’amico Stephen Hawking, Roger Penrose fece importanti scoperte riguardanti i Buchi Neri e la Teoria della Relatività. In seguito ottenne altri importanti risultati nel settore della Teoria dei Giochi (o forse è meglio dire della Geometria), come la tassellazione di Penrose, che permette di ricoprire un piano con 2 tipi di figure in modo aperiodico e che furono inventate (o scoperte) ignorando che potessero avere un’applicazione pratica; ad esempio, che le forme tridimensionali di queste tassellature potevano essere alla base di un nuovo strano tipo di materia. Lo studio di questi “quasi-cristalli” è diventato un’area di ricerca nella moderna cristallografia.
 

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APenrose_tiling
http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html
http://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm
https://www.goldennumber.net/penrose-tiling/



In generale esistono solo 3 poligoni regolari che consentono di ricoprire il piano infinito: triangolo equilatero, quadrato ed esagono.




Se invece utilizziamo il pentagono, ci rendiamo conto che resta sempre un’area che non riusciamo a ricoprire. Ma anche se è vero che con i pentagoni non si riesce ad ottenere la copertura del piano, scomponendo il pentagono in figure di 3 o 4 lati, si possono ricavare figure che, prese a coppie, riescono a ricoprire il piano infinito. Se poi si aggiunge la richiesta di soddisfare ad alcune semplici regole, si ottengono disposizioni decisamente inaspettate.
Si è creduto per molto tempo che nessuna figura con simmetria quintupla potesse avere un ordine ripetitivo. Tuttavia, nel 1974, Roger Penrose scoprì 2 schemi di intarsio (per la loro forma chiamati “Kite and Dart” o “Dardo ed Aquilone”) capaci di ricoprire il piano con simmetria quintupla. Si tratta però di schemi non periodici, anche se dotati di una certa regolarità. Gli angoli di questi oggetti geometrici sono tutti multipli di 36 gradi, come nel pentagono regolare e nei triangoli ricavati da quest’ultimo.


  

Pentagono e tasselli di Penrose hanno il rapporto aureo“phi” presente un po’ ovunque nelle loro componenti; non a caso  phi = 2 * cos 72 = 1.6180339....
Potrete anche notare che nelle varie figure i lati hanno valori differenti, e questo per le proprietà di phi. Ne riporto alcune che ho preso da Wikipedia:



Una delle proprietà più affascinanti di queste tassellature, è che, col crescere dell’area presa in considerazione, il rapporto tra il numero dei Dardi e quello degli Aquiloni tende al solito phi.
Nel 1977 MartinGardner scrisse un famoso articolo intitolato: Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature, per la rubrica “GIOCHI MATEMATICI” de “Le Scienze” da lui gestita per molti anni. Qui di seguito ne viene riportato un estratto.




GIOCHI MATEMATICI

di Martin Gardner

Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature

Una tassellatura periodica è una tassellatura in cui si può delimitare una regione che ricopre il piano per traslazione, cioè per spostamento della regione senza rotazione né riflessione. Si pensi di coprire il piano con un foglio di carta trasparente su cui siano segnati i contorni di ogni regione. Solo se la tassellatura è periodica si può spostare il foglio, senza ruotarlo, in una nuova posizione in cui tutti i contorni corrispondono ancora esattamente. Un'infinità di forme, per esempio l'esagono regolare, tassellano il piano solo in modo periodico. Un'infinità di altre forme lo tassellano sia periodicamente che non periodicamente. La figura in basso mostra come una forma detta “sfinge” costituisca una tassellatura non periodica dando luogo a sfingi sempre più ampie.

Anche qui due sfingi (una delle quali ruotata di 180 gradi) costituiscono ovviamente una tassellatura periodica. Ci sono insiemi di tessere di due o più forme differenti che diano luogo solo a tassellature non periodiche? Per «solo» intendiamo che né una singola forma, né un sottoinsieme né l'intero insieme danno luogo a tassellature periodiche ma che, usando tutte le tessere, è possibile ottenere una tassellatura non periodica. Sono permesse rotazioni e riflessioni delle tessere. Per molti decenni gli esperti credettero che un tale insieme non esistesse, ma la supposizione si rivelò inesatta. Nel 1961 Hao Wang cominciò a interessarsi alla tassellatura del piano con insiemi di quadrati unitari i cui spigoli venivano colorati in vari modi, noti come domino di Wang. Nel 1964 Robert Berger, nella sua tesi di dottorato in matematica applicata all'Università di Harvard, dimostrò che non c'è nessuna procedura generale. Esiste quindi un insieme di domino di Wang che tassella solo non periodicamente. Berger costruì un insieme siffatto servendosi di più di 20 000 domino. Più tardi ne trovò uno molto più piccolo di 104 domino. L'anno scorso Raphael M. Robinson ridusse l'insieme a 24 domino. E’ facile trasformare tale insieme di domino di Wang in tessere poligonali che diano luogo solo a tassellature non periodiche. Basta aggiungere delle sporgenze e delle rientranze sugli spigoli in modo da ottenere dei pezzi come quelli dei rompicapo jigsaw che combaciano nella maniera precedentemente imposta dai colori.

Uno spigolo, originariamente di un colore, combacia solo con un altro che originariamente era dello stesso colore; relazioni analoghe si ottengono per gli altri colori. Ammettendo la rotazione e la riflessione di tali tessere, Robinson costruì sei tessere (si veda lo figura in alto) che «inducono la non periodicità» nel senso precedentemente spiegato. All'Università di Oxford, dove è Rouse Bali Professor di matematica, Penrose si diede a ricercare insiemi ancora più piccoli. Sebbene si occupi soprattutto di teoria della relatività e di meccanica Quantistica, continua ad avere per i giochi matematici quel vivo interesse che condivideva con il padre, il genetista l.S. Penrose. (A loro si deve la scoperta della famosa «scala di Penrose» che gira e gira senza salire; Escher la raffigurò nella sua litografia Ascending and Descending.) Nel 1973 Penrose trovò un insieme di sei tessere che riuscì a ridurre a quattro e, nel 1974, a due. Dato che le tessere si prestano a essere utilizzate per rompicapo commerciali, Penrose non volle renderle note finché non chiese il brevetto in Gran Bretagna, negli Stati Uniti e in Giappone. Ora che questi brevetti stanno per arrivare ho avuto il permesso di parlare di queste tessere. A John Horton Conway devo molti risultati derivanti dai suoi studi sulle tessere di Penrose. La forma di una coppia di tessere di Penrose può variare, ma le due forme più interessanti sono quelle che Conway chiama «punte» e «aquiloni».










Nella figura in alto si può vedere come possano essere derivate da un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. Si divida la diagonale maggiore secondo il noto rapporto aureo di  1.6180339 ... poi si unisca il punto con gli angoli ottusi. Questo è tutto. Sia phiil rapporto aureo. Ogni segmento di retta è 1 o phi come indicato in figura. Il rombo dà luogo ovviamente a una tassellatura periodica, ma non è consentito unire i pezzi in questa maniera. Si possono proibire per mezzo di sporgenze e tacche certi modi di unire i lati di uguale lunghezza, ma ci sono mezzi più semplici per farlo. Per aiutare a rispettare questa regola si possono mettere negli angoli punti di due colori ma un metodo migliore, proposto da Conway, è disegnare archi circolari di due colori su ogni tessera come si vede rappresentato nel pavimento in figura.


Ogni arco taglia sia i lati sia l'asse di simmetria in modo che le parti staccate siano tra loro in rapporto aureo. La nostra regola sarà che i lati posti vicini devono congiungere archi dello stesso colore. Per apprezzare pienamente la bellezza e il mistero della tassellatura di Penrose, si dovrebbero costruire almeno 100 aquiloni e 60 punte. I pezzi devono essere colorati solo da una parte. Le aree delle due figure stanno tra loro in rapporto aureo e lo stesso vale per il numero dei pezzi di ciascun tipo di cui avete bisogno. Si potrebbe credere di aver bisogno di un numero maggiore di punte, dato che sono più piccole, ma è proprio il contrario. C'è bisogno di 1,6180339... aquiloni per ogni punta. Se usate tessere colorate, tuttavia, sarete colpiti dalla bellezza dei disegni che vengono creati da queste curve. Penrose e Conway hanno dimostrato, uno indipendentemente dall'altro, che, quando una curva è chiusa, ha una simmetria pentagonale e l'intera regione all'interno della curva ha simmetria quintupla. Una struttura può avere al massimo due curve non chiuse. Nella maggior parte delle strutture tutte le curve sono chiuse. Sebbene sia possibile costruire strutture di Penrose con un alto grado di simmetria (un'infinità di strutture ha simmetria bilaterale) la maggior parte delle strutture sono un ingannevole miscuglio di ordine e inaspettate deviazioni dall'ordine. Quando le strutture si espandono sembra che stiano sempre lottando per ripetere se stesse ma che non ci riescano mai del tutto. C'è qualcosa di ancor più sorprendente sugli universi di Penrose. In un curioso senso finito, espresso dal “teorema di isomorfismo locale”, tutte le strutture di Penrose sono simili. Penrose riuscì a dimostrare che ogni regione finita in una struttura è contenuta in qualche posto all'interno di ogni altra struttura. Per di più essa compare un numero infinito di volte in ogni struttura. Per comprendere quanto sia folle questa situazione, si immagini di vivere su un piano infinito ricoperto da una delle più che numerabili tassellature di Penrose. Si può esaminare la struttura pezzo per pezzo, in tutte le aree di espansione, ma non si può mai determinare su quale tassellatura si è, indipendentemente da quanta parte della struttura si è esplorata. Non serve viaggiare in lungo e in largo ed esaminare regioni non connesse, perché tutte le regioni esaminate appartengono a un 'ampia regione finita che è duplicata esattamente un numero infinito di volte su tutte le strutture. Ovviamente questo è banalmente vero per una tassellatura periodica, ma gli universi di Penrose non sono periodici: essi differiscono uno dall'altro in un numero infinito di modi, eppure è solo al limite, che non è ottenibile, che si possono distinguere uno dall'altro. Come ha detto Conway, i due insiemi di tessere sono costituiti dalla medesima sostanza aurea.
Esistono coppie di tessere non basate sul rapporto aureo che inducano una tassellatura non periodica? Esiste un singolo pezzo che dia luogo solo a tassellature non periodiche? Questi sono due tra i più interessanti e difficili problemi aperti nella teoria della tassellatura.



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230. Vite parallele: Escher - Penrose

May 7, 2017, 7:22 am
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Le Vite paralleledi Plutarco sono una serie di biografie di uomini celebri scritte sulla fine del I secolo d.C. e riunite in coppie per mostrare vizi o virtù morali comuni ad entrambi e consistono di ventidue coppie di biografie, di norma narranti le vite di un uomo greco e di uno romano. Il “parallelo” con il titolo di questo post finisce qui; infatti le vite a cui si fa riferimento, sono di 2 persone nate e scomparse a pochi giorni di distanza l’uno dall’altro. Il comune interesse per le “Strutture Paradossali”, li accomunò verso la fine degli anni ’50, anche se con motivazioni differenti: psicologiche, grafiche o matematiche.

Lionel Sharples Penroseè stato uno psichiatra e genetista britannico.
     11 giugno 1898, Londra            -   12 maggio 1972, Londra, Regno Unito

Maurits Cornelis Escherè stato un incisore e grafico olandese.
     17 giugno 1898, Leeuwarden   -   27 marzo 1972, Laren, Paesi Bassi






I contatti di Eschercon la comunità scientifica, in particolare quelli che seguirono il suo intervento allo Stedelijk Museum di Amsterdam nel settembre 1954 durante il Congresso Internazionale dei Matematici, giocarono un ruolo importante nella sua progressione verso la rappresentazione di mondi impossibili.

Oltre all'incontro con il matematico canadese H.S.M. Coxeter, questa mostra portò ad un fruttuoso scambio di idee con Roger Penrose, che frequentava la conferenza come studente e fu molto impressionato da quanto esposto da Escher. Opere come Relativity (1953) esercitarono un'influenza determinante sullo sviluppo di figure che possono essere disegnati ma non possono esistere in 3 dimensioni.






Roger Penrose inviò a Escher"Oggetti impossibili: uno speciale tipo di Visual Illusion", un articolo da lui pubblicato con il padre, L.S. Penrose, nel British Journal of Psychology, nel febbraio 1958, che rendeva omaggio ai lavori di Escher.

Escher fu colpito da 2 illustrazioni che accompagnavano la discussione di oggetti impossibili: una rampa di scale che portano verso il basso e verso l'alto, allo stesso tempo e un triangolo impossibile. Ispirato dalle illustrazioni dei Penrose, Escher realizzò 2 famose litografie, Salire e Scendere (1960) e Cascata(1961).






Salire e scendere, Marzo 1960, litografia 285 x 355

L’illusione dei monaci che salgono e scendono in continuazione lungo una scala, forma un percorso chiuso basato su una costruzione paradossale che Escher trovò in un articolo di L.S. Penrose.


Salire e scendere





Cascata, Novembre 1961, litografia 300 x 380

L’acqua della cascata della cascata che mette in moto la ruota del mulino scorre lungo un canale tra 2 torri sino a quando raggiunge un punto in cui cade di nuovo. L’illusione è basata sul triangolo proposto da Roger Penrose, figlio dell’inventore della “scala continua” (Salire e scendere).

Cascata




































Qui di seguito, la lettera inviata da M.C. Escher a L.S. Penrose nel 1961.

 










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231. Lancette allineate

June 17, 2017, 3:43 pm
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Il giorno siderale(o sidereo) è il tempo che intercorre tra due passaggi consecutivi della medesima stella al meridiano di un determinato luogo terrestre e ha una durata di 23 ore, 56 minuti e 4,0905 secondi. Esso è il periodo del moto diurno di rotazione della sfera celeste, nonché del moto di rotazione della Terra rispetto alla posizione media delle stelle visibili.
Gli altri quasi 3 minuti e 56 secondi che mancano alle 24 ore del giorno solare medio (che rappresenta la media aritmetica di tutti i giorni solari di un anno) sono necessari per raggiungere il Sole, che nel frattempo si è mosso rispetto alle stelle fisse.

Ebbene, se dividete la durata del giorno siderale per il tempo che manca alle 24 ore, ottenete 365,2421394645... che corrisponde al numero di giorni che ci sono in un anno solare. Riassumo i vari conti in tabella:


Come noto, per convenzione gli anni sono formati da un numero intero di giorni: 365 o 366 se bisestili. La parte decimale (0,2421394645...) di giorni nell'anno solare determina quanti anni bisestili si devono predisporre. Per chiarire meglio, se tutti gli anni fossero di 365 giorni, ogni 4 anni avanzerebbe circa un giorno; questo si risolve ponendo un anno bisestile ogni 4. Ma visto che l’avanzo è un po’ meno di 1 giorno, il primo anno di ogni secolo si salta l’anno bisestile, e infine, siccome avanza ancora un pochino, ogni 4 secoli l’ultima regola non vale. Per cui è stato bisestile l’anno 2000, ma non lo saranno gli anni 2100, 2200 e 2300.


Una cosa analoga avviene con le lancette di un orologio. Se si considera solo la lancetta dei minuti, questa ritorna alla posizione di partenza dopo un’ora esatta, ma se invece ci chiediamo ogni quanto le 2 lancette si sovrappongono, il calcolo non è così immediato.


Ci sono diversi modi per risolvere il problema. Quello più semplice è notare che, per esempio, se si parte da mezzogiorno, la prima volta le lancette saranno sovrapposte poco dopo la 1 e 5 minuti, poi dopo le 2:10, ecc. Ad ogni ora si posticipa di almeno 5 minuti e come risultato si ottiene che in 12 ore si hanno solo 11 sovrapposizioni.

Lista degli orari delle 11 sovrapposizioni in 12 ore (esclusa quella alla partenza):

 01:05:27

 02:10:55

 03:16:22

 04:21:49

 05:27:16

 06:32:44

 07:38:11

 08:43:38

 09:49:05

 10:54:33

 12:00:00

Primi 4 allineamenti










Riassumendo. Le lancette delle ore e dei minuti si allineano esattamente 11 volte ogni 12 ore. In 12 ore ci sono 12 ore  x  60 min/ora  x  60 sec/min  =  43.200 secondi. Da cui si ricava: 43.200/11 = 3.927,2727 sec, che equivalgono a 1 ora, 5 minuti e 27,2727 secondi.






 

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232. 1642 e 1879

July 25, 2017, 2:16 pm
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Gli anni 1642 e 1879 hanno qualche cosa in comune inerente la storia della Fisica.

Ci sono anni come il 1492 o il 1789 (scoperta dell’America e rivoluzione francese) che potrebbero essere confusi, ma io intendo proprio i 2 anni del titolo, e, per inquadrarne meglio il contesto storico, comincerò con il racconto di alcuni peculiari eventi accaduti in questi 2 anni.

Il 13 giugno 1642 a Milano un terremoto fece crollare il campanile di S. Stefano e nel crollo del campanile vengono distrutte anche la vicina chiesa di S. Bernardino con l'annesso ossario. La chiesa venne ricostruita dal Buzzi negli anni successivi. Nei miei ricordi di bambino, rimangono impresse le visite e le macabre visioni delle pareti interne dell'edificio, a pianta quadrata, ricoperte di teschi ed ossa che si trovavano nell'antico ossario, disposte nelle nicchie, sul cornicione e sui pilastri. Questo senso macabro si fonde elegantemente con la grazia del rococò.


Nel 1642 venne inventata la Pascalina o calcolatore meccanico, da parte del matematico francese Blaise Pascal. Aveva inizio la Guerra Civile Inglese ed era in corso la Guerra dei trent’anni.

Nel 1879 l’americano Thomas Alva Edison migliorò la lampadina inventata l’anno precedente da Joseph Wilson Swan, costituita da uno spesso filamento di carbonio che, riscaldandosi, emetteva luce e gas. Edison brevettò una lampadina con un filamento sottile e ad alta resistenza elettrica. Tra i due inventori, nacque una disputa sulla paternità dell'invenzione. La contesa finì anni dopo con la creazione della società Edison-Swan che divenne una delle più grandi produttrici mondiali di lampadine. Nel 1910 il fisico americano William David Coolidgesostituì il filamento di carbonio con uno di tungsteno immerso in un gas, realizzando in questo modo una lampadina che durava molto di più e che, quasi inalterata, è arrivata fino ai giorni nostri. Nello stesso anno, in Arizona, davano la caccia a Billy the Kid.
Ma, in sintonia con gli argomenti trattati in questo blog, gli anni 1642 e 1879 hanno in comune il passaggio del testimone tra 2 coppie dei maggiori fisici mai esistiti:

 

Galileo Galilei          (15 febbraio 1564 – 8 gennaio 1642)

Isaac Newton         (25 dicembre 1642– 20 marzo 1727)

 

James Clerk Maxwell       (13 giugno 1831 – 5 novembre 1879)

Albert Einstein                   (14 marzo 1879– 18 aprile 1955)

 

I volti di Galilei, Newton e Einstein, credo che siano molto noti, mentre non tutti avranno presente una foto di Maxwell, che potete però facilmente trovare in Wikipedia:

Il giovane Maxwell durante il periodo universitario al Trinity College di Cambridge



Nella sua breve vita, Maxwell produsse diversi importanti lavori, il più famoso dei quali è probabilmente quello legato all'elettromagnetismo. Il fisico scozzese unificò i lavori sull'elettricità e il magnetismo di Carl Friedrich Gauss, Michael Faraday, André-Marie Ampere e di molti altri in una serie di 20 equazioni differenziali, che furono successivamente ridotte a 4. Note come equazioni di Maxwell, tali equazioni furono presentate alla Royal Society nel 1864, e insieme descrivono il campo elettrico e quello magnetico, e le loro interazioni con la materia.

Le equazioni prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche, ossia di oscillazioni del campo elettromagnetico. Maxwell cercò, sulla base dei dati disponibili all'epoca, di misurare sperimentalmente la velocità di queste onde, ottenendo il risultato di 310.740.000 m/s. Nel 1865 scriveva: «Questa velocità è così vicina a quella della luce che ho ragione di supporre che la luce stessa sia un'onda elettromagnetica»

Maxwell era nel giusto e la successiva scoperta sperimentale delle onde elettromagnetiche per opera di Hertz fu uno dei trionfi assoluti della Fisica dell’ottocento. Come detto più sopra, quando Maxwell elaborò la teoria dell’elettromagnetismo, descrisse il comportamento di campi elettrici e magnetici non con 4, ma con 20 equazioni:
Le prime 6 equazioni erano suddivise nelle loro 3 componenti Cartesiane.

Furono Oliver Heaviside in Gran Bretagna e Heinrich Rudolf Hertz in Germania che semplificarono le equazioni di Maxwell nei 2 decenni successivi alla sua morte.









 

Quaternioni
Seguendo un percorso completamente diverso, nel 1843 William Rowan Hamilton introdusse i quaternioni, entità pensate originariamente per rappresentare le rotazioni in 3 dimensioni in analogia con la rappresentazione delle rotazioni in 2 dimensioni per mezzo dei numeri complessi. Tre anni dopo, nel 1846, Hamilton pubblicò un articolo in cui introduceva i termini di scalare e vettoriale per riferirsi a parte reale e immaginaria dei quarternioni. Dal 1865 al 1880 i quaternioni cominciarono ad affermarsi nel mondo scientifico, mentre l’opera di Hermann GuntherGrassmann passava sostanzialmente sotto silenzio. Nel 1873 James Clerk Maxwell pubblicò il suo Treatise on electricity and magnetism, opera fondamentale per l’elettromagnetismo. Benché durante il suo lavoro Maxwell non avesse mai fatto uso dei quaternioni, questi erano ormai molto diffusi, perciò decise di presentare molti dei suoi risultati in questa forma oltre a quella cartesiana. Nel 1877, William Kingdon Clifford pubblicò il suo Elements of Dynamic, un trattato di meccanica. Al capitolo intitolato ‘Prodotti di due vettori’, Clifford definisce le operazioni di ‘prodotto vettore’ e ‘prodotto scalare’, combinando in pratica le diverse impostazioni di Hamilton e di Grassmann (Clifford fu uno dei pochi matematici del tempo a conoscere entrambi i metodi). Sebbene Clifford resti ancora legato ai quaternioni, nel suo lavoro il prodotto tra queste entità viene scisso del tutto in due parti, ognuna delle quali viene trattata come un prodotto separato. Nel 1881, Josiah Willard Gibbs terminò la stesura della prima metà dei suoi Elements of Vector Analysis, ad uso degli studenti, in cui esponeva quello che è essenzialmente il moderno sistema di analisi vettoriale; la seconda parte verrà stampata nel 1884. In una lettera a Schlegel del 1888, Gibbs afferma di aver sviluppato la nuova teoria a seguito della lettura del Treatise on electricity and magnetism di Maxwell, dove i quaternioni erano largamente utilizzati.
Tratto dalla Tesi di Laurea di: Carlo Andrea GONANO – “Estensione in N-Dimensioni di prodotto vettore e rotore e loro applicazioni”

 

 













 


 
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233. Eclissi e ISS

August 24, 2017, 1:55 pm
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Un'eclissi totale di Sole ha attraversato una stretta porzione degli Stati Uniti lunedì 21 agosto: da Lincoln Beach in Oregon a Charleston nella Carolina del Sud.


L’eclissi solare parziale è stata comunque visibile in tutto il continente nordamericano.




Ci sono occasioni che possono capitare una sola volta nella vita, e il fotografo della NASA Joel Kowskyne ha avuta una, riuscendo a catturare, vicino a Banner nel Wyoming, una spettacolare immagine (composta da 7 fotogrammi) che mostra la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) mentre transita davanti al Sole a 7,66 km/s (circa 27.600 km/h) durante l'eclissi parziale.


A bordo, come parte di “Expedition 52”, è presente un equipaggio di 6 persone: gli astronauti della NASA Peggy Whitson, Jack Fischer e Randy Bresnik; i russi Fyodor Yurchikhin e Sergey Ryazanskiy della RKA e l'astronauta Paolo Nespolidell'ESA (Agenzia Spaziale Europea).

Il diametro angolaredel Soleè di 32’ (0,53 gradi), mentre ISS ha un periodo orbitale di 92,7 minuti e se vi dovesse capitare di osservarla, vi potreste rendere conto di cosa significhi viaggiare a più di 22 volte la velocità del suono (o circa 30 volte quella di un aereo di linea).



Con un semplice calcolo si ottiene che la velocità angolare di ISSè circa 0.0647 gradi/sec (3,9’/sec) e quindi occorrono 8,24 secondi per spostarsi da una parte all’altra del Sole.
Un'orbita geostazionaria(in inglese: Geostationary Earth Orbito GEO) è un'orbita circolare ed equatoriale, situata ad un’altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite che la percorre coincide con il periodo di rotazione della Terra. È un caso particolare di orbita geosincrona. Si dice orbita geosincrona una qualsiasi orbita sincronaattorno alla Terra, potenzialmente utilizzabile da satelliti artificiali. I satelliti in orbita geosincrona sono caratterizzati da un periodo orbitale pari al giorno siderale terrestre. È importante osservare che questi satelliti non mantengono sempre necessariamente la medesima posizione nel cielo della Terra.

Dovendo pensare ad un film di fantascienza, il primo che mi viene in mente è “2001: Odissea nello spazio”. Il film di Stanley Kubrick del 1968, basato su un soggetto di Arthur C. Clarke, il quale ha poi tratto dalla sceneggiatura un romanzo dal titolo omonimo. Non credo che sia il caso di spendere molte parole che sarebbero probabilmente fuori luogo; preferisco riportare quanto detto dallo stesso regista: “Ognuno è libero di speculare a suo gusto sul significato filosofico del film, io ho tentato di rappresentare un'esperienza visiva, che aggiri la comprensione per penetrare con il suo contenuto emotivo direttamente nell'inconscio.”





La previsione più famosa di Sir Arthur C. Clarke sul futuro è la sua proposta di utilizzare satelliti geostazionari per le telecomunicazioni, pubblicata nella rivista Wireless Worldnel 1945. Non considerata seriamente all’inizio, è poi diventata realtà 20 anni dopo con il lancio del 6 aprile 1965 di Intelsat-Early Bird, il primo satellite geostazionario commerciale di comunicazione.

Un satellite posizionato in un'orbita circolare equatoriale ad una distanza di circa 42.164 km dal centro della Terra (35.787 km sopra il livello del mare) con un periodo pari alla rotazione della Terra sul suo asse (Giorno Siderale = 23h 56m), rimane geostazionario sullo stesso punto sull'equatore della Terra. Nel 2002 la Clarke Orbit aveva oltre 300 satelliti. Il primo riferimento ai satelliti geostazionari è contenuto nell’articolo di Clarke (inviato all'editore nel 1945) intitolato “Peacetime Uses for V2” pubblicato nel numero di Wireless World.

Arthur C. Clarke nella sua autobiografia scientifica “Ascent to Orbit”, pubblicata nel 1984, afferma di aver dimenticato questa lettera fino a quando glielo è stato ricordato dal personale ingegneristico della Sri Lanka Broadcasting Corporation nel 1968.
In tabella vengono riportate le velocità di satelliti in orbita ad una distanza R dal centro della Terra.
 

 
Raggio(km)
m/s
km/h
ISS
6,785
7,661
27,579
Satelliti Geostazionari
42,168
3,073
11,063
Luna
384,000
1,018
3,666

 

L’idea di Clarke era di utilizzare i satelliti artificiali nello spazio in modo che servissero da ripetitori.




 
         

 












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234. GPS

September 20, 2017, 2:28 pm
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La teoria della Relatività Generale di Albert Einstein nasce come teoria unificante la Relatività Ristretta e la Teoria della Gravitazione Universale di Isaac Newton: le due teorie sono infatti incompatibili. Nella Relatività Generale, lo spazio-tempo di Minkowskiè solo un modello che approssima localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. E quando si parla di spazio-tempo, si intende che questi 2 concetti sono ormai intrinsecamente legati. Non esistono più spazio e tempo assoluti, con tutto quello che ne consegue.

La teoria della Relatività Generale implica che il tempo rallenti in presenza di un campo gravitazionale. Mentre la teoria della Relatività Speciale prevede che le misure di intervalli temporali e di lunghezze spaziali effettuate da osservatori inerziali non corrispondano necessariamente fra loro, dando luogo a fenomeni come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Gli effetti della Relatività Generale sono più rilevanti vicino alla superficie terrestre rispetto a quelli su un satellite orbitante intorno alla Terra. Anche la velocità del satellite deve essere maggiore dove l'altezza dell’orbita è più bassa, in modo che la forza centrifuga possa annullare l'attrazione gravitazionale più forte, per cui anche la RelativitàSpeciale fornirà un maggior contributo. Quando l'altezza aumenta, entrambi gli effetti diminuiscono in modo non lineare secondo il fattore di Lorentz (Relatività Speciale) e seguendo la soluzione diSchwarzschild delle equazioni del campo di Einstein (Relatività Generale). Ma i due effetti sono opposti, quindi c'è un'altezza (circa 3.200 km sopra il livello del mare) dove questi si annullano; un orologio posizionato sul satellite è visto funzionare correttamente in questo punto quando osservato dalla superficie terrestre. Un sistema satellitare GPS (Global Positioning System) è un esempio e una prova pratica di entrambe le teorie di Einstein. I ricevitori GPS sono posizionati ad un’altezza di 20.000 km circa e compiono 2 orbite al giorno. Vengono costruiti per ricevere sulla Terra un segnale a 10,23 MHz, ma i satelliti GPS devono trasmettere sulla frequenza 10.22999999543 MHz per annullare gli effetti relativistici. L'effetto (una differenza di tempo di circa 38 μs/giorno) è apparentemente insignificante, ma deve essere preso in considerazione o ci sarebbe un errore nel posizionamento di 11,5 km/giorno.
Nel grafico, gli errori sono contrassegnati alle altezze approssimative della Stazione Spaziale Internazionale (ISS), dei satelliti GPS (GPS) e dei satelliti geostazionari (GEO).

 


Jakub Serych "Relativistic Effects on Satellite Clock as Seen from Earth"

Ciò che sorprende, è che in 100 anni si ha un rallentamento relativo di 1,4 secondi, ma, per ottenere un’accuratezza nella navigazione di 15 metri, la corrispondente accuratezza del tempo del GPS deve essere di 50 nanosecondi, che equivale al tempo richiesto alla luce per percorrere 15 metri. In altre parole, senza tener conto della Relatività, il GPS non riuscirebbe a rimanere entro le specifiche dichiarate in appena 2 minuti.

 





https://physics.stackexchange.com/questions/96478/time-dilation-in-orbits-in-the-schwarzschild-metric
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235. Piramidi e calendari

October 7, 2017, 4:04 pm
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La piramide di Kukulkanè un monumento piramidale, a base quadrata, che domina il centro di Chichen Itza, sito archeologico messicano nello Stato dello Yucatán, costruito dalla civiltà Maya tra il IX e il XII secolo. In questo post vedremo come esista una correlazione tra questa e i calendari fiscaliutilizzati nelle aziende.


  

Per definizione un angolo giro vale 360 gradi. Questo probabilmente perché, per semplificare i calcoli, si è scelto un numero che ha molti divisori. Infatti è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, ecc.

Dei primi 10 numeri manca solo il 7. Ad esempio, con questa scelta, gli angoli al centro dei primi poligoni regolari (eccettuato l’ettagono) sono tutti numeri interi.


Un angolo giro si può dividere in 4 quadranti per formare 4 angoli di 90 gradi, anche loro facilmente divisibili in angoli di 30, 45 e 60 gradi, utilizzati nelle comuni figure geometriche. 360è anche vicino a 365, il numero di giorni in un anno non bisestile.

Prima di continuare vediamo come viene usualmente suddiviso un anno solare. La suddivisione in settimane, non credo che abbia un qualche significato ancestrale, ma è probabilmente dovuta al fatto che la Luna torna nella stessa fase dopo circa 4 settimane; per l’esattezza un mese sinodico, altrimenti detto lunazione o mese lunare, è il tempo che impiega la Luna per riallineare nuovamente la sua posizione con il Sole e la Terra dopo aver compiuto una rivoluzione intorno a quest'ultima: si può anche definire come il tempo che intercorre tra un novilunio e quello successivo. La durata media del mese sinodico è di 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi (circa 29,53 giorni). Vi sono quattro posizioni fondamentali: Luna nuova, primo quarto, Luna piena e ultimo quarto.



Ognuna di queste fasi dura poco più di 1 settimana.
Un anno è divisibile in 52 settimane (o in 4 trimestri di 13 settimane l’uno) + 1 giorno; ovvero: 91, 91, 91 e 92 giorni.


Come detto all’inizio del post, la piramide di Kukulkanè a base quadrata e ciascuno dei quattro lati della piramide ha 91gradini che, sommati insieme, compresa la piattaforma del tempio in alto come fase finale, produce un totale di 365 (4 x 91 + 1).

Nota: il minimo comune multiplo di 2 numeri consecutivi è sempre il loro prodotto, cioè 2 numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.

90ha come fattori primi 2, 3 e 5, mentre il numero successivo 91 (che non può avere gli stessi numeri) ha come fattori primi 7 e 13.

 




 
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236. Lenti sottili

November 5, 2017, 2:57 pm
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Da Wikipedia, l'enciclopedia libera: “La rifrazione è la deviazione subita da un'onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo a un altro nel quale la sua velocità di propagazione cambia. La rifrazione della luce è l'esempio più comunemente osservato, ma ogni tipo di onda può essere rifratta, per esempio quando le onde sonore passano da un mezzo a un altro o quando le onde dell'acqua si spostano a zone con diversa profondità.”



Ma perché il raggio non percorre il cammino più corto, cioè la linea retta?

La risposta è semplice: perché così fa prima.

Questo è uno degli aspetti del principio di Fermat. Nel 1650 Pierre Fermat scoprì questo importante principio: Un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo confrontato con quello dei percorsi vicini è minimo o massimo o stazionario.



Esistono molti principi variazionali utilizzati per risolvere i problemi scientifici con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Ad esempio, il principio di Maupertuis generalizza il principio di Fermat, ma in generale in fisicasi possono ricavare dal principio di minima azione, che, a sua volta, ha come formulazione maggiormente significativa il principio variazionale di Hamilton. Provate a cercarli su Wikipedia e vedrete come da poche semplici ipotesi si possano ricavare le leggi della fisica (come richiesto dal principio metodologico noto come Rasoio di Occam).

Tra i tanti, mi piace ricordare questo: Principio di minima curvatura di Hertz - una particella non soggetta a forze esterne si muove lungo la traiettoria di curvatura minima; in altre parole deve essere una geodetica.

Nel caso di una lente ottica, il raggio di luce che l’attraversa subisce una doppia rifrazione, che permette ai raggi che partono da una sorgente puntiforme di focalizzarsi in un secondo punto dalla parte opposta della lente.



Questo è alla base dell’ottica geometrica. Spesso si ha a che fare con sistemi formati da più di una superficie rifrangente: attraverso una lente da occhiali, la luce passa dall’aria al vetro e dal vetro all’aria; in strumenti come il microscopio, il telescopio o la macchina fotografica, esistono quasi sempre più di 2 superfici, che consentono di correggere le aberrazioni cromatiche.

Ma veniamo ora ad un aspetto mai sottolineato abbastanza, cioè che nel caso rappresentato nella figura riportata sopra esistono infiniti percorsi che la luce percorre per andare dalla sorgente al secondo punto.

La luce che percorre la linea retta che passa per i 2 punti, nel percorso all’interno della lente si muove più lentamente, mentre quella che transita vicino al bordo percorre un cammino maggiore. Ebbene, si può verificare che il tempo di percorrenza è lo stesso per tutti i percorsi.

Qui di seguito la dimostrazione che si può trovare nel capitolo 16 del libro:

James Nearing, Mathematical Tools for Physics, Dover ed.


 

  









 
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237. Kaprekar

November 11, 2017, 4:19 pm
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Nel 1949 il matematico indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar mise a punto un processo oggi noto come operazione di Kaprekar, che venne pubblicato su Scripta Mathematica(n. 15, 1949).  
Si sceglie un numero di 4 cifre dove le cifre non siano tutte uguali (come 1111, 2222, ecc.) e neanche che 3 siano uguali tra loro e la quarta differisca di un’unità; quindi si ridispongono le cifre per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre con queste 4 cifre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero.
Ad esempio, se si parte da 2017 si ottiene:


7210  -  0127  =  7083

8730  -  0378  =  8352

8532  -  2358  =  6174

7641  -  1467  =  6174


e per ogni numero di 4 cifre si arriva a 6174; tutti i numeri raggiungono 6174 in un massimo di 7 passaggi. La maggior parte dei numeri converge con 3 passaggi:







Deutsch e Goldman(nel 2004) hanno fornito questa interessante rappresentazione grafica:




Una situazione simile si ottiene con 3 cifre, ma in questo caso la chiave a cui si arriva è 495. In funzione del numero di cifre, si possono avere 1, nessuna o più chiavi:



Ma cosa si ottiene cambiando la base del sistema numerico?

Una bella trattazione la potete trovare qui.
Nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi con numeri fino a 5 cifre:



 







 
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238. Atan

January 1, 2018, 3:03 pm
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Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità (o di inclinazione) di una strada, ed è indicata dalla segnaletica verticale con cartelli di pericolo che ne indicano la pendenza con una percentuale. Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada.
Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale 0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con l'orizzontale ha una pendenza di 100% (tangente = 1); cioè ad ogni spostamento orizzontale di 100 metri, ne corrisponde uno verticale di pari valore.

                     


La pendenza della strada è definita come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
m = tan θ

Se si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal valore della pendenza m, basta applicare la formula di conversione:    θ = arctan m

In trigonometria, l’arcotangente(che viene indicata con arctan o atan) è definita come inversa della funzione tangente.



In un triangolo rettangolo l'ampiezza di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente.

Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, non è difficile dimostrare la relazione:


Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco, che sono conosciute come formule di tipo Machin.

William Shanks, nel 1873, calcolò il valore di pi greco con 707 cifre decimali, facendo uso della formula di John Machin del 1706:



Questo risultato fu in seguito controllato da D.F.Ferguson e J.W.Wrench jr. avvalendosi rispettivamente della formula di Machine della seguente formula di Sidney Luxton Loney:


Calcolarono entrambi 808 cifre decimali ottenendo lo stesso risultato. Si è avuta così la conferma che le ultime cifre del valore ricavato da Shanks (a partire dalla 528a) erano errate.

E ora una bella formula ricavata dal grande matematico Eulero nel 1738:


Formula di Eulero

Da quest’ultima (utilizzando la prima formula di questo post) si può ricavare:


Una bella dimostrazione grafica di questa elegante formula consiste nel mostrare che la somma degli angoli rosso, verde e blu è proprio pi greco (N.B. nella seconda immagine, il triangolo blu-verde è isoscele e quindi simile al triangolo piccolo rosso-nero della prima immagine).




 


 
















https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities










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239. Geodetiche su un poliedro

February 9, 2018, 4:01 pm
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In matematica una geodeticaè la curva più breve che congiunge due punti. Le geodetiche nel piano sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo. In ogni suo punto la normale principale ad essa coincide con la normale alla superficie in quel punto; ovvero il piano osculatore alla linea risulta normale alla superficie in quel punto.

Quali sono i cammini più brevi sui poliedri?
Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali e, se 2 punti giacciono sulla medesima faccia, il cammino più breve è un segmento di linea retta. Se invece i 2 punti giacciono su facce adiacenti, allora il cammino più breve appartiene ad una linea retta sulla superficie sviluppata (aperta sul piano).
Prolungando questo segmento, oltre i suoi estremi, possiamo congiungere tutte le coppie di punti della superficie del poliedro.

Nel precedente post: 16. Se la Terra fosse un Cubo; si era visto che un pianeta a forma cubica di spigolo pari al diametro della Terra (12.746 km), avrebbe una diagonale pari a 22.077 km. La differenza tra il punto più elevato e quello più profondo, sarebbe di 4.665 km (4.665.000 metri). Sulla Terra tra il Monte Everest (8.844 m) e la Fossa delle Marianne (-10.911 m) si ha un dislivello di 19.755 m. Ipotizzando oceani profondi 10.000 m, gli 8 vertici sarebbero montagne alte 500 volte il Monte Everest. Per andare da una delle 6 facce all'altra si dovrebbero superare valichi con altitudine pari a 300 volte il Monte Everest. Gli oceani potrebbero essere al massimo 6.



Nel sito di Carlos Furuti, potete trovare molte Proiezioni cartografiche:


e potrete anche stamparvi una Terra cubica.





Questo argomento è stato brillantemente trattato nel numero 500 di Le Scienze nella rubrica dei mitici Rudi Matematici: Il problema di Aprile (500) - Immaginate di essere..., che questo mese ospitano il Carnevale della Matematica.


Il grande matematico britannico Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) ha inventato centinaia di giochi matematici

Martin Gardner - Enigmi e giochi matematici

ne verranno riportati un paio che trattano di geodetiche su poliedri.


IL VIAGGIO DELLA MOSCA

Una mosca, partendo dal punto A, può percorrere i 4 lati della base di un blocco cubico in 4 minuti. Quanto tempo ci vorrà per andare da A all’angolo opposto B?

La mosca selezionerebbe il percorso mostrato dalla linea nell'illustrazione, che gli richiederà 2,236 minuti. Non andrà invece nella direzione indicata dalla linea tratteggiata che potrebbe sembrare quella suggerita. Questo percorso è più lungo e richiederebbe più tempo (2,414 minuti).








IL RAGNO E LA MOSCA

Una stanza rettangolare ha le dimensioni indicate in figura (in misure inglesi). Un ragno, indicato con la stella gialla, si trova al centro di una delle due pareti di fondo a un piede dal soffitto. Una mosca, indicata con la stella scura, si trova invece sulla parete opposta, a un piede dal pavimento. Qual è la distanza più breve che il ragno deve percorrere per raggiungere la mosca?

Il modo più semplice per risolvere il problema consiste nello sviluppare la stanza sul piano. In questo modo il percorso più breve risulta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, pari a 40 piedi.


Il paradosso, in questo caso, consiste nel fatto che il percorso orizzontale potrebbe sembrare più breve, ma non è difficile verificare che è pari a 42 piedi (2 in più).

 








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