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200. Media armonica

November 30, 2015, 3:29 pm
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Durante un viaggio può capitare di chiedersi quanto tempo sarà necessario per arrivare a destinazione. Ad esempio se dobbiamo percorrere 200 km e stimiamo una velocità di crociera di 100 km/ora, non è difficile capire che prevediamo 2 ore di viaggio.
Poi arrivati a metà percorso ci accorgiamo che la velocita media è di soli 80 km/ora. E allora, se vogliamo recuperare rispetto alla tabella di marcia, a quale velocità dobbiamo percorrere la seconda metà del tragitto?

Ovviamente la risposta non è 120 km/ora, altrimenti il post finirebbe qui.

Un’altra domanda potrebbe essere: se andassimo ad 80 km/ora sino a metà percorso e 120 km/ora dopo, quale sarebbe la velocità media?


Prima di rispondere alle 2 domande, prendiamo in rassegna le 3 medie più utilizzate.

Da Wikipedia:     https://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)


Media aritmetica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente; quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione o il numero medio di figli per coppia).
Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.
A volte alcuni elementi dell’insieme preso in considerazione hanno come valore la media (considerando ad esempio l’altezza degli italiani), mentre non ha senso dire che una coppia ha 1,4 figli.


Media geometrica

La media geometrica di ntermini è la radice n-esima del prodotto degli nvalori.


Media armonica

La media armonica di ntermini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci. La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulo minore.



 

In generale si ha:       Maritmetica> Mgeometrica> Marmonica


Inoltre per medie di 2 soli valori:

                        Maritmetica: Mgeometrica = Mgeometrica: Marmonica


Prendiamo ad esempio i 2 valori 1 e 100, abbiamo rispettivamente:

Media aritmetica       ( 1 ; 100 )        50,5

Media geometrica     ( 1 ; 100 )        10

Media armonica        ( 1 ; 100 )          1,98


50,5  :  10  =  10  :  1,98


Torniamo ora al problema iniziale, cominciando dalla seconda domanda:

se andassimo ad 80 km/ora sino a metà percorso e 120 km/ora dopo, quale sarebbe la velocità media?

La risposta è 96 km/ora.

Proviamo a verificarlo con un esempio:

se dovessimo percorrere 480 km, per i primi 240 km ad 80 km/ora sarebbero necessarie 3 ore, mentre per gli altri a 120 km/ora basterebbero 2 ore; in totale 5 ore. Per cui 480 / 5 = 96 km/ora.

La media corretta è la Media armonica. Per 80 e 120 abbiamo infatti:

Media aritmetica       ( 80 ; 120 )     100

Media geometrica    ( 80 ; 120 )       97,98

Media armonica       ( 80 ; 120 )       96


100  :  97,98  =  97,98  :  96


La prima domanda chiedeva invece:

a quale velocità dobbiamo percorrere la seconda metà del tragitto?

La risposta è 133,33 km/ora.

Infatti:             Media armonica    ( 80 ; 133,33 )    100
 

Coppie di velocità che hanno come Media armonica 100 sono riportate in tabella:

 
 
Mentre in quest’altra tabella sono riportate le Medie armoniche di velocità che hanno come Media aritmetica 100:
 


 
Media armonica deriva dal fatto che in uno strumento a corda dimezzandone la lunghezza, la nota emessa raddoppia di frequenza e se riduciamo la sua lunghezza ad un rapporto 2/3 otteniamo una quinta, che è comunque in “accordo”.
Si dice che 1, 2/3 e 1/2 formano una progressione armonica (musicale), partendo da un Do si arriva al Sol e quindi al Do di un’ottava superiore.
Al passaggio successivo otterremmo 4/5 (terza), nel nostro esempio un Mi.

 



 

La formula per calcolare la Media armonica ricorda il calcolo del valore di resistenze poste in parallelo. Esiste anche un modo semplice per ottenere il valore della Media armonica in modo analogico:

 

Per lo schemaA il valore della Resistenza TotaleRTè la Media aritmetica di RAed RB; mentre per lo schema B, RT rappresenta la Media armonica di RA ed RB.
 

Un esempio ingegnoso è rappresentato dal seguente schema:
 

 
Con l’interruttore aperto il valore del circuito è 50,5 ohm (Media aritmetica), mentre con l’interruttore chiuso è 1,98 ohm (Media armonica).
 

Per approfondire consiglio i seguenti post:

http://www.batmath.it/matematica/fondamenti/med_armonica/med_armonica.htm

http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2012/04/06/la-serie-armonica/

http://xmau.com/mate/light/media.html

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMean.html

http://www.math.unipd.it/~candiler/didafiles/2004/armonici.pdf

 

 
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201. Bokeh e Convoluzione

December 28, 2015, 9:23 am
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In questo periodo dell’anno capita di dover scattare qualche foto, e le luci di un albero di Natale possono essere un ottimo sfondo per realizzare foto originali.
Probabilmente avrete tutti visto o scattato qualche foto ove lo sfondo risulti “sfocato”.
Giusto per farsi un’idea, una foto di questo tipo:
 
Tratta da:  Kevin & Amanda


Ecco, questo è un tipico esempio di Bokeh.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera, potete venire a sapere che: “Bokeh è un termine del gergo fotografico derivato dal vocabolo giapponese "boke", che significa "sfocatura" oppure "confusione mentale". A partire dalla metà degli anni novanta, si è affiancato all'uso terminologico tradizionale di espressioni come contributo delle aree fuori fuoco o resa dello sfocato.” ed inoltre “Il concetto di bokeh risulta legato alla nozione di profondità di campo e con delle lenti adatte, l'effetto "sfocato" si può ottenere ricorrendo a un basso rapporto focale; le ottiche migliori per esaltare il bokeh sono i teleobiettivi e gli obiettivi per macrofotografia.” ed infine “Dal punto di vista matematico, la sfocatura di una fotografia può essere descritta come la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma.”
La convoluzione è un importante concetto matematico; si tratta di un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell’integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Capisco che questo possa non risultare di facile ed immediata comprensione, ma anche in questo caso se andate a leggere la relativa voce di Wikipedia, potete trovare un paio di esempi molto esplicativi (uno è riportato nella nota in fondo al post).

Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o latrasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Ad esempio, in acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro, mentre, nel nostro caso, in ottica, una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma; il termine fotografico per tale effetto, è, come detto sopra, Bokeh.

Dati una lente ed uno schermo posizionati ad una certa distanza, esiste una determinata posizione ove si deve posizionare un oggetto, perché la proiezione della sua immagine risulti a fuoco sullo schermo. Se l’oggetto risulta più vicino o più lontano, una sorgente puntiforme avrà una forma circolare (sfocata).





Se ci limitiamo al caso di oggetti posizionati sullo sfondo (più distanti) ci troveremo nella situazione rappresentata in figura: 
Ogni singolo cammino ottico passante da uno dei 4 punti (A,B,C,D) avrà come punto finale la corrispettiva lettera, cioè se avessimo un’immagine posizionata sulla lente, una volta proiettata sullo schermo, risulterebbe capovolta.
Di norma l’unica immagine posizionata vicino alla lente è la forma del diaframma. E’ per questo motivo che molte volte le luci sullo sfondo hanno forma esagonale.

Ma se vogliamo dare a queste luci un contorno che permetta di scattare foto originali, possiamo procedere come descritto in questo sito.

Ritagliate in un cartoncino una stella (o la figura che preferite) e trovate il modo di posizionarlo sull’obiettivo (avendo il diaframma impostato con un’apertura maggiore di quello della stella).



Potrete così ottenere immagini come queste:



Un esempio analogo di sagoma posta sulla lente è il Segnale di Batman:
 


Nota sulla convoluzione

I fotoni emessi da una sorgente puntiforme posta in un piano fuori fuoco, non arrivano tutti nello stesso punto dello schermo, ma entro un disco circolare che dipende dalla posizione dell’oggetto e dal diametro della lente.
Come mostrato in figura, se la base del cono B si sposta in alto o in basso, la sorgente entra ed esce dalla base del cono:
Nel nostro caso abbiamo considerato una sorgente puntiforme, ma se questa avesse una dimensione finita ci troveremmo nella stessa situazione mostrata nella pagina di Wikipedia:
Per una sorgente puntiforme ideale, una delle 2 funzioni può essere considerata come una Delta di Dirac.

Anche la Media Mobile può essere vista come un caso particolarmente semplice di convoluzione.


http://www.kevinandamanda.com/whatsnew/tutorials/photography-tutorials/must-get-christmas-pictures-before-the-tree-comes-down.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Bokeh
 
http://www.dpreview.com/challenges/Challenge.aspx?ID=1744&View=Results&Rows=4&Page=1
 
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202. Doomsday 2016 e Calendari

January 2, 2016, 4:14 pm
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Pensate di farvi regalare tutti i calendari che utilizzerete nella vostra vita.

·         Quanti possibili differenti calendari riceverete?
·         Ogni quanti anni riutilizzerete lo stesso calendario?
·         Ammettiamo di cominciare dal 2001 (che iniziava di lunedì), quanti anni sono necessari per utilizzarli tutti almeno una volta?

1)    Ogni anno può cominciare in 7 differenti modi (lunedì, martedì, …) e potrebbe essere di 365 o 366 giorni (bisestile).
Quindi ci sono 14 possibili calendari.

A ben vedere non è del tutto vero, come vedremo più sotto (*)

2)    Se cominciamo dal calendario del 2001, potremo utilizzarlo ancora nel 2007 (dopo 6 anni o 2191 giorni), poi nel 2018(11 anni o 4018 giorni) e via di seguito come mostrato in tabella:

 
            2001                                         2007 ( 6: 2191)                       2018 (11: 4018)       
            2029 (11: 4018)                       2035 ( 6: 2191)                       2046 (11: 4018)       
            2057 (11: 4018)                       2063 ( 6: 2191)                       2074 (11: 4018)       
            2085 (11: 4018)                       2091 ( 6: 2191)  
 

Se nella tabella ci spostiamo in verticale, notiamo che ogni 28 anni (11+11+6) o 10227 giorni avremo lo stesso calendario.

Nei 3 successivi anni avremo:

 
   2002                                    2013 (11: 4018)                             2019 ( 6: 2191)       
            2030 (11: 4018)                      2041 (11: 4018)                             2047 ( 6: 2191)       
            2058 (11: 4018)                      2069 (11: 4018)                             2075 ( 6: 2191)       
            2086 (11: 4018)                      2097 (11: 4018)   
 
 
   2003                                    2014 (11: 4018)                             2025 (11: 4018)       
            2031 ( 6: 2191)                       2042 (11: 4018)                             2053 (11: 4018)       
            2059 ( 6: 2191)                       2070 (11: 4018)                             2081 (11: 4018)       
            2087 ( 6: 2191)                       2098 (11: 4018)
 
 
    2004               2032 (28:10227)           2060 (28:10227)          2088(28:10227) 
 

L’ultimo è un anno bisestile; in questo caso abbiamo una ripetizione solo ogni 28 anni.

3)    Cominciando nel 2001, entro il 2028 avremo utilizzato i calendari almeno 1 volta. Per la precisione, 1 volta quelli bisestilie 3 volte gli altri.

Le tabelle sono state calcolate utilizzando il sito:

http://www.hermetic.ch/cal_sw/idcal/idcal.php

Di seguito vengono riportati i capodanni dal 2001 al 2102. L’anno 2101 avrà un comportamento anomalo in quanto il 2100 non sarà bisestile.


 
Per riutilizzare il calendario (o l’agenda) bisestile di quest’anno dovremo aspettare 28 anni, in questo secolo in totale 3 volte: 2016, 2044 e 2072.

 
(*)        Per essere precisi anche queste 3 agende avranno qualcosa di diverso:
            la data della Pasqua.
 
http://zibalsc.blogspot.it/2013/03/118-e-la-data-della-pasqua.html
 
Nel calendario gregoriano la Pasqua è una festività mobile e la sua data varia di anno in anno perché è correlata con il ciclo lunare.
La regola che fissa la data della Pasqua fu stabilita nel 325 dal Concilio di Nicea:
 
la Pasqua cade la domenica successiva alla prima luna piena dopo l'equinozio di primavera (assunto per convenzione il 21 marzo).
 
Di conseguenza essa è sempre compresa nel periodo dal 22 marzo al 25 aprile. Supponendo che il primo plenilunio di primavera si verifichi il giorno dell'equinozio stesso (21 marzo) e sia un sabato, allora Pasqua si avrà il giorno immediatamente successivo, ovvero il 22 marzo. Qualora invece il plenilunio occorresse il 20 marzo, bisognerà aspettare il plenilunio successivo (dopo 29 giorni), arrivando quindi al 18 aprile. Se infine questo giorno fosse una domenica, occorrerà fissare la data della Pasqua alla domenica ancora successiva, ovvero al 25 aprile.
 


Da Wikipedia possiamo vedere le date della Pasqua del ventunesimo secolo:


https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_della_Pasqua






Verifichiamo le 3 date della Pasqua: 27 marzo 2016, 17 aprile 2044 e 10 aprile 2072.

Nel seguente grafico è riportata la data della Pasqua in funzione dell’anno:
http://wordpress.mrreid.org/2011/12/12/youve-already-experienced-the-earliest-easter-youll-ever-know/

 
  
 
Il Doomsday2016 sarà Lunedi.

Come visto nel post 172 (e nei precedenti 30, 92, 109 e 132) alcune date, semplici da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday).
Questa regola è stata evidenziata dal matematico inglese John Horton Conway.

Da Aprile saranno cioè Lunedì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12,
- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

Per i mesi disparisi ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:

-       l’ultimo giorno di Febbraio (anche se l’anno è bisestile)
-       il 25 Aprile
-       Ferragosto       (15 Agosto)
-       Halloween        (31 Ottobre)
-       S.Stefano         (26 Dicembre)
 

Nel 2017 il Doomsday sarà Martedì, nel 2018 Mercoledì e nel 2019 Giovedì.


http://wordpress.mrreid.org/2011/12/12/youve-already-experienced-the-earliest-easter-youll-ever-know/

http://mathforum.org/library/drmath/view/59238.html

http://www.timeanddate.com/calendar/?year=2016

http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule
http://www.cems.uvm.edu/~rsnapp/teaching/cs32/homework/doomsday.pdf
http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/hudson/Ekness____Doomsday%20Presentation.pdf
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/12/16/il-giorno-del-giudizio/
http://it.wikipedia.org/wiki/Giorno_del_pi_greco
http://www.piday.org/
http://www.exploratorium.edu/pi/

https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_della_Pasqua

 

 
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203. Fattoriale, Fibonacci e Conigli

February 6, 2016, 4:22 pm
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                                           Al mondo ci sono tre tipi di persone:  
                                           quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.

                Ian Stewart

1 + 2 + 3 + 4 + ... + N, cioè la somma degli interi da 1 ad N è relativamente facile da calcolare (come visto in 163. Gauss & Faulhaber):       





Se invece proviamo a calcolare il prodotto di 1 x 2 x 3 x 4 x ... x N, otteniamo la sequenza 1, 2, 6, 24, ..., N!. Si definisceFattoriale il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali ad un dato numero N, e viene indicato con N!.

In questo caso però non è possibile ottenere una formula esatta, ma il matematico scozzese James Stirling (1692-1770) riuscì a ricavare una buona approssimazione:



Si può dimostrare che cresce più velocemente di un esponenziale e meno di nn.

an ≤  Fattoriale  ≤  nn

La funzione Gamma di Euleroè una funzione continua, che estende il concetto di fattoriale ai numeri reali



o nel campo dei numeri complessi














Tornando al Fattoriale, riporto la tabella di Wikipedia con i primi elementi: 



Una notevole coincidenza del Fattoriale di 10 risulta essere:

 
10!  =  6 settimane    (in secondi)
 

Cioè in 6 settimane ci sono esattamente 3.628.800 secondi.

In 1 ora ci sono 3600 secondi e in 1 settimana ci sono 168 ore (24 x 7)

3600 = 4 x 9 x 2 x 5 x 10     e    168 = 3 x 8 x 7

Riordinando i vari fattori abbiamo:  2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10  (manca solo il 6).

Quindi se prendiamo 6 settimane abbiamo tutti i valori fino a 10.

Continuando con i valori successivi, 11!  secondi sono più di un anno e 20!  secondi sono superiori a 5 volte l’età dell’Universo.

Come si vede il Fattoriale cresce abbastanza in fretta (o forse l’età dell’Universo espressa in secondi non è poi così elevata); ad esempio il Numero di Avogadro è maggiore di qualche ordine di grandezza e comunque niente in confronto a come crescono i Grandi Numeri.

Ma veniamo ora al tema proposto dai Rudi Mathematici o Rudi Matematici per il Carnevale della Matematica del mese di Febbraio.

La Successione di Fibonacci che abbiamo già visto in alcuni post precedenti (ad es. 89. Ottantanove e successivo) cresce asintoticamente come un esponenziale.

Sequenza di Fibonacci  ≤  Fattoriale  ≤  nn

 




















Nel 1202 Leonardo da Pisa pubblicò il libro Liber Abbaci o “Libro del calcolo”, un testo di aritmetica che si centrava su calcoli finanziari. Sembra che uno degli esercizi fosse un’invenzione dell’autore e poneva questa domanda: 

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia

Riporto di seguito la traduzione che potete trovare nel sito: 


“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
 
Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.
Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.
Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.
Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8coppie.
Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.
Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.
Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.
Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.
Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377coppie. 

Tante sono le coppiegenerate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.” 


https://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Successione_di_Fibonacci


Qualche secolo dopo la sua morte, a Leonardo da Pisa fu dato il soprannome Fibonacci, “figlio di Bonaccio”.

La successione, che prende il suo nome, è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1 = 1 e F2 = 1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:

Fn = Fn-1 + Fn-2         (per ogni n>2)

Gli elementi Fnsono anche detti numeri di Fibonacci.
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

 







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204. Onde gravitazionali

February 20, 2016, 4:13 pm
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Siamo tutti nei bassifondi, ma qualcuno di noi guarda le stelle

Oscar Wilde, Lady Windermere's Fan


Le onde gravitazionali sono piccole increspature nello spazio-tempo prodotte da oggetti astronomici, con grandi masse che subiscono accelerazioni, e queste increspature si propagano nell’Universo.
Ma quanto piccole sono queste increspature?

Ci sono molte similarità tra elettromagnetismo e gravitazione. Non è quindi sorprendente che, come le equazioni di Maxwell, anche le equazioni di Einstein della teoria della Relatività Generale abbiano una soluzione radiativa.

In questi giorni si parla ovunque, della conferenza stampa congiunta con LIGOed EGO-VIRGO, dell'11 febbraio 2016





dove è stata confermata l'esistenza delle onde gravitazionali grazie allo studio condotto sull'impatto di 2 buchi neri.

La ragione per cui non è semplice rilevarle nei normali processi atomici è che, secondo la teoria di Einstein, la radiazione gravitazionale viene prodotta in quantità estremamente ridotte. Ad esempio la probabilità che in una transizione tra 2 stati atomici venga emessa radiazione gravitazionale piuttosto che elettromagnetica, è dell’ordine di  GE2/e2  dove Gè la costante di gravitazione universale, Eè l’energia rilasciata ed e la carica dell’elettrone.

Per E = 1 eV(che corrisponde all’energia di un fotone nel vicino infrarosso) la probabilità è circa 3 x 10-54.

Giusto per farsi un’idea, il numero di atomi nelSoleè circa 1057.

Nelle moderne teorie fisiche, le equazioni di Maxwell ci portano in modo naturale ad un’interpretazione in termini di particelle: il fotone.

In modo analogo le equazioni di Einstein portano al concetto di una particella del campo gravitazionale: il gravitone.

Non linearità - L’analogia, però, non è completa, in quanto ogni onda gravitazionale è essa stessa una distribuzione di energia e momento che contribuisce al campo gravitazionale dell’onda.

Torniamo all’analogia con il campo elettromagnetico: un campo elettrico variabile (ad esempio oscillante) genera un campo magnetico variabile (teorema di Ampere generalizzato), il quale a sua volta genera un campo elettrico variabile (legge di Faraday-Neumann-Lenz) e così via. L’oscillazione si propaga nello spazio.

Questo fu il ragionamento di Maxwell (attorno al 1870) che lo portò a prevedere l’esistenza di un fenomeno allora sconosciuto: le onde elettromagnetiche.

Oltre a prevederne l’esistenza, Maxwell dimostrò che queste onde si propagano nel vuoto con una velocità pari a 300.000 km/s.

In modo analogo, 2 stelle che orbitano intorno al loro comune centro di massa (e che quindi vengono sottoposte ad una continua accelerazione), hanno come risultato di produrre un’onda gravitazionale.

 





La formula derivata dalla Teoria della Relatività Generale per il calcolo della potenza di queste onde è la seguente:

Più in generale, anche un pianeta nella sua rivoluzione intorno ad una stella emette onde gravitazionali, ad esempio sostituendo i valori relativi a Sole e Terra:

M Sole =  2 x 1030 kg        M Terra  =  6 x 1024 kg        R  =  150,000,000 km

si ottiene il valore di 200 watt. Praticamente niente.

Nel caso rilevato da LIGO l’ipotesi è che si tratti di 2 Buchi Neri, rispettivamente di 29 e 36 masse solari.

 








 

 
Un Buco Nero è definito come l'oggetto le cui dimensioni siano inferiori rispetto al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da tale raggio funge per un corpo statico da orizzonte degli eventi. Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l'orizzonte degli eventi provenendo dall'interno del corpo - da qui il nome di "Buco Nero".
Il raggio di Schwarzschildè un raggio caratteristico utilizzato in fisica per designare la distanza dal centro della distribuzione di massa a simmetria sferica che dà origine alla metrica di Schwarzschild, alla quale si trova, secondo la Relatività Generale, l'orizzonte degli eventi. Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km, mentre quello della Terra misura 8.87 mm.
Il raggio di Schwarzschild fu introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild, quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica (vedi metrica di Schwarzschild, che è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein).
 

 

La massa stimata del Buco Nero presente al centro della Via Latteaè di 4,1 milioni di masse solari. Quelli più massicci arrivano a decine di miliardi di masse solari.

I 2 Buchi Neri di 29 e 36 masse solari sono quindi da considerarsi relativamente piccoli.

Le caratteristiche dei 2 Buchi Neri sono:


 M BN1  =  5.8 x 1031 kg              R Schwarzschild =   85.5 km

  M BN2  =  7.2 x 1031 kg              R Schwarzschild =  106.2 km

Nella fase finale della loro vita, quando i 2 Buchi Neri arrivano a distare meno di 5 km, il periodo di rivoluzione è inferiore ad 1 secondo e la potenza emessa, a questa distanza, supera il valore di 1044 watt. In questa fase, di breve periodo, la potenza è in continuo aumento e l’energia liberata è equivalente a quella di circa 3 masse solari (E=mc2), lascio il calcolo per esercizio.

Ricordo solo che l’energia irradiata dal Sole al secondo è:  

E =  3.8 x 1026 J   (mille miliardi di miliardi di volte inferiore).

Le onde gravitazionali sono state rilevate il ​​14 settembre 2015,  da entrambi i rilevatori LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory), che si trovano a Livingston (Louisiana) e Hanford (Washington).  I 2 osservatori sono finanziati dalla National Science Foundation (NSF). Sono stati concepiti, costruiti e sono gestiti da Caltech e MIT. 
La scoperta è stata pubblicata sulla rivista “Physical Review Letters”.
Osservando che la registrazione del segnale a Livingston è avvenuta 7 millisecondi prima di quella a Hanford, si può ipotizzare che la fonte fosse situata nel sud del mondo.



Tutta questa energia emessa, ha permesso di rilevare le onde gravitazionali dopo un viaggio di 1.3 miliardi di anni alla velocità della luce.


L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976 

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

 

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205. Pi Greco

March 6, 2016, 1:51 pm
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How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving
quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard ...
3.14159265358979323846264...

E rieccoci a marzo, il mese del Pi Day.
Occasioni per parlare del Pi Greco ce ne sono sempre molte; che si parli di matematica, fisica o altre scienze, in un modo o nell’altro questo numero appare.
E’ conosciuto anche come costante di Archimede o costante di Ludolph.
E’ un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemannnel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui Piè radice, quindi è impossibile esprimere Piusando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

 

Le figure di questo post sono prese da Wikipedia e dal sito di Paolo Lazzarini. Alcuni argomenti sono invece stati tratti dal libro di “Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988” che riesce sempre ad essere una fonte di ispirazione inesauribile.



Un ottimo sito da cui cominciare l’esplorazione di Pi Greco:


E in italiano il sito di Mauro Fiorentini.

 

La rivista “Sapere” bandì un concorso fra i propri lettori, per trovare frasi mnemoniche che aiutassero a esprimere le cifre di Pi Greco. Le risposte migliori furono pubblicate nel numero del 28 febbraio 1935. Ettore Siboni propose la seguente:

“Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga

    3   1     4    1      5           9        2    6       5     3      5          8               9             7

spargesti con la tua saggezza …”

      9          3   2   3        8


Nello stesso numero della rivista furono pubblicate le migliori risposte pervenute per ricordare e, base dei logaritmi naturali:     2,718281828459…
“La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata …”
“La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace …”



Suresh Kumar Sharma (India) lo scorso 21 ottobre 2015 ha stabilito il record mondiale, recitando a memoria le prime 70.030cifre del Pi Greco in 17 ore e 14 minuti.



Domanda:

Qual è la probabilità che2interi, scelti a caso, siano primi tra loro?
Supponiamo che 500 persone scrivano un numero a caso e (sempre a caso) con questi numeri vengano formate 250 coppie; tra queste se ne troverebbero 152 costituite da numeri primi tra loro (quando 2 numeri hanno come unico DIVISORE COMUNE  l'unità, essi si dicono PRIMI TRA LORO o COPRIMI). 

Per l’esattezza la risposta è:   6/π2

Questo valore può essere ottenuto come reciproco del prodotto di Eulero:





ponendo s = 2.

Il calcolo dei valori esatti della funzione zetaè stato un compito piuttosto difficile. Eulero riuscì nel 1735 ad ottenere una formula esatta per la funzione zetadi 2. Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli s pari: 





Qual è la probabilità cheninteri, scelti a caso, siano primi tra loro?
La risposta è un’estensione della precedente, ponendo s = n.
Una dimostrazione potete trovarla qui.

 

Nel primo milione di cifre di Pi Greco ci sono: 

  99.959         0
  99.757         1
100.026         2
100.230         3
100.230         4
100.359         5
  99.548         6
  99.800         7
  99.985         8
100.106         9




GEOMETRIA SFERICA

Definizione (da Wikipedia, l'enciclopedia libera):

Nella geometria, una circonferenzaè un luogo geometrico di punti del piano costituito da punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio, mentre il doppio del raggio è detto diametro.
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio.

La formula per trovare la lunghezza della circonferenzaè: 

C = 2 Pi . r         oppure        C = Pi . d

Dove:

Csta per circonferenza;
Pista per pi greco;
rsta per raggio del cerchio;
dsta per diametro del cerchio.

E’ importante notare quanto scritto nella definizione: “luogo geometrico di punti del piano”, questo non garantisce che valga in generale; vediamolo meglio con un esempio non piano.
Per semplicità pensiamo alla Terra come ad una sfera con 6.366 km di Raggio e, quindi, 40.000 kmdi circonferenza massima (Equatore) e tracciamo una circonferenza (come luogo di punti equidistanti da un punto fisso, che in questo esempio coinciderà con il Polo Nord).




Per un raggio di piccole dimensioni (paragonato al Raggio della Terra), il rapporto tra circonferenza e raggio vale circa 6,28 (2 Pi Greco). Ma se aumentiamo la distanza a 10.000 km, raggiungiamo l’Equatore.







In questo caso, il raggio della circonferenza vale appunto 10.000 km, mentre la circonferenza 40.000 km.
Il rapporto C/r è quindi 4 (decisamente inferiore a 6,28).























I Cerchi Olimpici visti da Banksy


Mauro Fiorentini:    http://www.bitman.name/math/article/84/115/ 



 

 

 
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206. I ragazzi del coro

April 3, 2016, 3:10 pm
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In quanti modi 8 coristi possono cambiare di posto, così da trovarsi ogni volta disposti in modo diverso?
(La risposta è: 8! = 40.320)

Ad ogni incontro si scattano una foto ricordo; se si ritrovano tutte le sere, quante foto accumuleranno a fine carriera e quante volte nelle foto avranno la stessa disposizione?
10.000 giorni sono all’incirca 27 anni e 20 settimane. Per superare 40.320 serate servono 110 anni e quindi difficilmente si ripeteranno 2 disposizioni uguali.

Impilando le fotografie di 80 anni (quasi 30.000 con più di 800 rullini), si raggiungerebbe un’altezza di diversi metri, ma se ogni foto avesse una risoluzione di 5 MPixel, potremmo memorizzarle tutte in una scheda da 64GB (la storia di una vita memorizzata in un piccolo chip).
Nel film Smoke, Auggie, il protagonista interpretato da Harvey Keitel, ha una curiosa passione. Ogni mattina alle otto precise esce dalla sua tabaccheria, piazza la macchina sul treppiede e fotografa sempre lo stesso scorcio di Brooklyn. Auggie esegue questa operazione con costanza per anni, estate e inverno, con la pioggia o con il sole, catalogando le foto che conserva in diversi album.






Non è difficile immaginare come diverge il risultato aumentando il numero di coristi. La Fisica risolve il problema introducendo concetti come Pressione e Temperatura.


Le leggi della Termodinamica sono principi generali che hanno un contenuto macroscopico. In essi non compare nessun riferimento esplicito agli atomi che compongono il sistema in esame, sono quindi indipendenti dai possibili modelli microscopiciche possono rappresentare gli atomi e le molecole del sistema. Tali principi si possono usare anche quando non si conosce nulla in riguardo alla composizione atomica. E’ importante ricordare che le leggi della Termodinamica furono introdotte molto prima che si stabilisse una teoria atomica della materia.
Se combiniamo i concetti statistici con la conoscenza microscopica del sistema, la nostra possibilità di comprendere e fare previsioni risulta molto accresciuta. Otteniamo così la disciplina della Meccanica statistica. Siamo quindi in grado di calcolare le proprietà di sistemi macroscopicisulla base di dati microscopici. E’ quindi possibile calcolare l’entropia(misura del disordine presente in un sistema fisico)  da principi primi. Ludwig Boltzmann ha sintetizzato questo nel principio:

S = k ln W

Nella termodinamica classica l'entropiaSè una funzione di stato di un sistema in equilibrio termodinamico, che, quantificando l'indisponibilità di un sistema a produrre lavoro, si introduce insieme con il secondo principio della termodinamica.

L'approccio molecolare della meccanica statistica generalizza l'entropia alle possibili diverse disposizioniW dei livelli molecolari in cui può trovarsi macroscopicamente un sistema. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa, che quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato a uno disordinato la sua entropia aumenta; questo fatto fornisce indicazioni sulla direzione in cui evolve spontaneamente un sistema.

Tomba di Boltzmann

“Tutto ciò che esiste nell'universo è frutto del caso e della necessità”   Democrito



Se con 8 coristi si possono ottenere le combinazioni riportate sopra, possiamo immaginare che cosa sia possibile ottenere con un coro composto da 7,4 miliardi di persone (attuale popolazione mondiale – 6 miliardi nel 2000). Questo tipo di considerazioni, risultano però in contrasto con la Teoria del mondo piccolo che sostiene che tutte le reti complesse presenti in natura sono tali che due qualunque nodi possono essere collegati da un percorso costituito da un numero relativamente piccolo di collegamenti. La sua nascita può essere fatta risalire ad una serie di esperimenti condotti da Stanley Milgram che esaminavano la lunghezza media del percorso per reti sociali tra residenti negli Stati Uniti.

Negli anni ’50 lo psicologo Milgram ideò un esperimento interessante. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate a Boston da una cittadina del Nebraska senza usare la normale procedura postale, ma con le seguenti regole: chi riceve una lettera per un destinatario a lui sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente, che proseguirà con la stessa regola. Ad ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita più vicino alla destinazione finale, o tutte due le cose assieme. Le due località iniziale e finale furono selezionate da Milgram con l’intento preciso che fossero estremamente diverse tra loro, come posizione geografica e composizione sociale. I risultati furono sorprendenti: la maggioranza delle lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi decisamente basso. Milgram dimostrò che in media 6 passaggi erano sufficienti per recapitare la lettera, e arrivò alla conclusione che, secondo una relazione di conoscenza diretta, ogni persona degli Stati Uniti è “separata” da qualsiasi altra soltanto da una catena di relazione lunga 6. L’esperimento diventò molto famoso, tanto da ispirare anche un pezzo teatrale, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo: Sei gradi di separazione.


A volte il caso …

Tsutomu Yamaguchi stava scendendo dal tram ad Hiroshima il 6 agosto 1945 ed essendo sopravvissuto all’esplosione della bomba atomica, denominata Little Boy, volle tornare subito nella sua città natale. Fu accontentato e venne quindi riportato a Nagasaki; dove, dopo lo scoppio della seconda bomba atomica, visse fino al 4 gennaio 2010. A ottant'anni scrisse un'autobiografia riguardante la sua esperienza, e fu invitato a partecipare a un documentario (nel 2006) intitolato Nijuuhibaku(Bombardati due volte) sulle 165 persone ufficialmente vittime di entrambe le bombe atomiche giapponesi. Fu un attivista anti-nucleare, e si prodigò presso l'assemblea generale delle Nazioni Unite affinché le armi nucleari fossero bandite. In una intervista disse: "La ragione per cui odio le bombe nucleari è per ciò che fanno alla dignità degli esseri umani".
 

 
Il concetto di entropia venne introdotto agli inizi del XIX secolo, nell'ambito della termodinamica, per descrivere una caratteristica (la cui generalità venne osservata per la prima volta da Sadi Carnot nel 1824) di tutti i sistemi allora conosciuti, nei quali si osservava che le trasformazioni avvenivano spontaneamente in una direzione sola, quella verso il maggior disordine.
In particolare la parola entropia venne introdotta per la prima volta da Rudolf Clausius nel suo “Trattato sulla teoria meccanica del calore” pubblicato nel 1864. Entropia deriva dal greco ἐν en, "dentro", e da τροπή tropé, "cambiamento".
Esistono diversi enunciati equivalenti del Secondo principio della termodinamica. Quelli che storicamente si sono rivelati più importanti sono:

«È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius).
«È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea» (formulazione di Kelvin-Planck).
«È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.»
«È impossibile realizzare il moto perpetuo.»

Nella Fisica moderna la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia:

«In un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo.»

Questo principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti, tramite la non reversibilità dei processi termodinamici, definisce la freccia del tempo.

Boltzmann fu il primo a mettere in relazione entropia e probabilità nel 1877, ma sembra che tale relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché Planck, nel 1900 circa, introdusse per primo kB, calcolandone il valore preciso, e dandole il nome in onore di Boltzmann.
Infatti l'equazione S = kB log Wpresente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello stesso articolo in cui introdusse la costante di Planck h. Come Planck ha scritto nella sua Nobel lecture nel 1920:
«Questa costante è spesso chiamata costante di Boltzmann, sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta — una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann, come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.»
 
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

 
F.Luccio - L.Pagli, Storia matematica della rete, Bollati Boringhieri, Torino, 2007


 
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207. Wireless

April 4, 2016, 2:36 pm
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Il cavo sottomarinoè un’invenzione dell’ottocento, ma dopo l’avvento di internet e l’esplosione delle comunicazioni elettroniche ha conosciuto una seconda giovinezza.
Al contrario di quello che si può immaginare, i satelliti hanno un ruolo secondario nel traffico di voce e dati, quasi il 99% di questi passa attraverso cavi.

Le comunicazioni intercontinentali utilizzano 900.000 chilometri di cavi (22 volte il giro del mondo) che collegano tutti i continenti e la maggioranza delle isole abitate.

In questo sito  http://www.submarinecablemap.com/  è possibile visualizzare dove sono posizionati i cavi sottomarini.




 

Wirelessè una parola che abbiamo imparato ad usare negli ultimi decenni, ma se utilizziamo la traduzione italiana “senza fili” ci rendiamo conto che non è poi così recente. Il Premio Nobel per la Fisica del 1909 venne assegnato a Guglielmo Marconi e Karl Ferdinand Braun: "in recognition of their contributions to the development of wirelesstelegraphy".











Questo post è dedicato a Keith Emerson il "signore" del Moog che in mezzo ai cavi si destreggiava benissimo.


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208. Cicloidi ed acqua

May 21, 2016, 4:44 pm
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 “La storia non si ripete, ma fa rima”

Mark Twain

Il calcolo delle variazioniè un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva Brachistocrona(dal greco, brachistos - il più breve, chronos - tempo).

Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange, che corrisponde ad una condizione di stazionarietà per il funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione porta a una condizione del primo ordine. Non è però possibile dire direttamente se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due. I metodi variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica.

Questa premessa (tratta da Wikipedia, l'enciclopedia libera) fornisce un’idea dell’ambito matematico in cui è possibile risolvere il problema che vedremo ora, di ricavare una curva che soddisfi determinate condizioni; l’effetto Mpemba, che vedremo in seguito, non ha un legame diretto con questa prima parte, ma, parafrasando la citazione di Mark Twain, in qualche modo fa rima.


Problema della Tautocrona: nel 1659 Christiaan Huygens, incoraggiato da Pascal, aveva dimostrato che la Cicloideè la soluzione al problema di trovare una curva per la quale il tempo impiegato da una particella, soggetta alla sola forza di gravità, a scivolare senza attrito lungo la curva sino al suo punto più basso, è indipendente dal punto di partenza.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.

In geometria, la Cicloideè una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; ad esempio, il disegno composto dalla valvola della camera d’aria di una bicicletta in movimento.



https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid


Le dimensioni di una Cicloide sono legate a quella della circonferenza generatrice; per vedere le relazioni esatte potete consultare Wikipedia o Wolfram, per semplicità mi limito al caso di una generatrice di raggio 1:

                 x = t – sin t

                 y = 1 – cos t 
  • l'altezza massima dell'arco è pari a 2;
  • la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro, ovvero 8;
  • la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza, ovvero 2 pi(6,28);
  • l'area compresa fra la cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio (3 pi).

Quest’ultima proprietà era già stata ricavata da Galileo Galilei, che, non riuscendo a calcolarla, ritagliò una sagoma di metallo e la pesò, confrontandola poi con la sagoma della circonferenza generatrice.

Problema della Brachistocrona: nel 1696, Johann Bernoulli pose una domanda ai lettori degli Acta Erudidorum. Supponiamo di avere 2 punti A e B, con A posizionato ad una altezza maggiore di B (ma non sulla stessa verticale). L’idea è di costruire uno scivolo curvo da A a B e farci scivolare sopra una biglia. Domanda: quale curva dobbiamo utilizzare, se vogliamo raggiungere B nel minor tempo possibile? Molti matematici furono in grado di fornire la risposta corretta, inclusi Newton, Leibniz, Bernoulli stesso e suo fratello Jakob.

La soluzione, anche in questo caso, è la Cicloide.

La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata Brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e, come anticipato nella premessa, la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
Quando Pascal la ripropose ci fu una vera esplosione di interessi e di studi intorno alla curva, spesso così appassionati e accesi che la Cicloide fu definita “la bella Elena” della geometria. Il pendolo cicloidaleè un tipo di moto periodico ideato da Christiaan Huygens intorno al 1659 con una interessante proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni della Cicloide.





Nelle 3 figure (tratte dal video https://www.youtube.com/watch?v=qtpaauuGx-Y) sono presenti 6 curve: 3 di queste (curve 3, 4 e 5) sono archi di Cicloide, mentre le prime 2 hanno una pendenza iniziale maggiore e l’ultima ha pendenza costante (piano inclinato). Inoltre, le palline poste sulle Cicloidi partono da posizioni differenti. Quello che si verifica è che le palline poste sulle 3 Cicloidi arrivano prima (Brachistocrona) e contemporaneamente (Tautocrona).

Non so voi, ma a me il fatto che esista una curva con queste caratteristiche e che si possa ricavarla partendo da semplici presupposti a cui deve soddisfare, riesce sempre a stupirmi; cioè mi sembra controintuitivo il fatto che l’istante di arrivo sia indipendente dal punto di partenza sulla curva. Lo stesso stupore lo provo nel caso dell'effetto Mpemba, riscoperto casualmente nel 1969 dallo studente tanzaniano Erasto Mpemba (in realtà questo effetto venne già descritto nel IV secolo a.C. da Aristotele). E la rima è che, anche qui, si ottiene una cosa poco intuitiva, perché arriva prima chi parte da più lontano (con la distanza misurata dalla differenza di temperatura).

Nel 1963 il tredicenne Mpemba frequentava le scuole medie di Magambe, in Tanzania, quando si accorse di un fenomeno bizzarro, un’anomalia che ancora oggi non è possibile spiegare con certezza: a lui e ai suoi compagni di classe piaceva il gelato, che preparavano in casa con latte portato a bollore, zuccherato e messo poi in freezer dopo averlo fatto raffreddare fino a temperatura ambiente. Nel frigo c’era poco spazio e ogni volta che si faceva il gelato c’era la corsa per infilare i recipienti per primi. Un giorno, mentre aspettava con il pentolino sul fuoco, Mpemba si accorse che un suo compagno stava miscelando lo zucchero nel latte freddo per fare prima. Era rimasto un solo spazio nel freezer e non poteva aspettare. Decise quindi di mettere il latte zuccherato ancora bollente nel frigo, rischiando inoltre di danneggiare l’elettrodomestico. Un’ora e mezzo dopo, i ragazzi trovarono qualcosa di strano: il gelato di Mpemba era pronto, mentre gli altri preparati regolarmente, il liquido non era ancora completamente solidificato.

Effetto Mpemba: si osserva sperimentalmente che, a parità di condizioni, l’acqua calda congela prima di quella fredda.

Attenzione: il fatto che serva meno tempo, non implica che serva meno energia, ma solo che il trasferimento di calore è più efficiente.

Esiste anche l’effetto opposto: effetto Leidenfrost, un fenomeno fisico che si può osservare quando una sostanza liquida entra in contatto con una superficie avente temperatura significativamente più alta del suo punto di ebollizione. Lo strato più esterno del liquido evapora, producendo uno strato gassoso isolante che impedisce al resto di raggiungere rapidamente la temperatura di ebollizione. Se invece la temperatura è elevata ma resta un po' al di sotto del punto di Leidenfrost l'evaporazione avviene quasi istantaneamente. Un effetto simile si ottiene versando dell'azoto liquido su un pavimento a temperatura ambiente.


Sto leggendo l’interessante “Il libro dell’acqua” di Alok Jha che parla di questo effetto e di molte altre cose. Lo citerò ancora in un prossimo post, per ora mi limito a commentare un’altra particolare e fondamentale caratteristica dell’acqua.

Di norma quando si passa dallo stato liquido a quello solido, si ha un aumento del peso specifico. Per l’acqua questo non vale: in altre parole il ghiaccio galleggia.


Cosa accadrebbe se il ghiaccio non galleggiasse?

La risposta è che questa caratteristica unica risulta indispensabile affinché la vita possa evolversi. Se l'acqua fosse come tutte le altre sostanze, il ghiaccio sarebbe più denso dell'acqua liquida e formandosi nei mari e nei laghi affonderebbe. La pressione sui fondali, dove il ghiaccio si andrebbe raccogliendo, contribuirebbe a mantenere allo stato solido quest'acqua e anno dopo anno se ne formerebbe di nuovo in superficie per poi affondare ancora. Il risultato sarebbe un progressivo congelamento dell'acqua presente in molte zone della Terra, con la conseguente distruzione di tutte le forme di vita presenti sui fondali marini. Inoltre, lo strato di ghiaccio superficiale galleggiante, quando si forma, isola l'oceano sottostante prevenendone il congelamento e la grande pressione degli abissi mantiene liquida anche la freddissima acqua sui fondali. In tale modo essa è disponibile come indispensabile solvente per le creature che vi abitano, e la vita che nell’acqua ha avuto origine, nel cosiddetto brodo primordiale, ha potuto proliferare giungendo sino a creature complesse quali siamo noi. La risposta alla domanda iniziale è quindi che se il ghiaccio non galleggiasse, probabilmente non saremmo qui a parlarne. 

 







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209. M come Messier

June 2, 2016, 3:55 pm
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Quando nel XVII secolo Galileo Galilei cominciò ad osservare la Via Lattea con il cannocchiale, scoprì che questa fascia che di notte si vedeva attraversare il cielo, era composta da miriadi di stelle. Altri oggetti celesti, come la nebulosa di Orione, rimanevano invece “nebulosi” anche osservati con questa nuova strumentazione ottica.
Il primo catalogo di nebulose, redatto da Charles Messier, venne pubblicato nel 1774. Si trattava di una lista di oggetti “nebulosi” (cioè di aspetto non stellare), immobili rispetto alle stelle fisse. Messier iniziò con il resto di Supernova NGC 1952 (M1), visibile nella costellazione del Toro, scoperto nel 1731 da John Bevis e formato dai gas in espansione espulsi durante l'esplosione della Supernova 1054. M1, noto come “Nebulosa del Granchio”, si trova a circa 6.500 anni luce dal sistema solare; perciò l'evento che l'ha prodotto è in realtà avvenuto 6.500 anni prima del 1054 (quando la Supernova venne osservata da popolazioni cinesi e arabe), cioè circa nel 5400 a.C.
La prima edizione del catalogo di Messierconteneva 45 oggetti, mentre quello finale, pubblicato 10 anni dopo, ne conteneva 103; in seguito ne vennero aggiunti altri 7.











Al trentunesimo posto troviamo Andromeda, nota a tutti gli astrofili come M31.



La prima volta che ho sentito il nome di questa galassia è stato nel 1972, quando la RAI ha trasmesso lo sceneggiato televisivo in cinque puntate “A come Andromeda”, basato sull’omonimo sceneggiato prodotto dalla BBC nel 1961 su sceneggiatura di Fred Hoyle e John Elliot. Le varie vicende raccontate, fanno da sfondo al primo contatto con un'intelligenza aliena stabilito dagli esseri umani e che porterà i diretti protagonisti a confrontarsi con una realtà inaspettata. Dopo i titoli di testa compariva la scritta: “Questa storia si svolge in Inghilterra l'anno prossimo”.
Può sembrare strano, ma cento anni fa non era ancora chiaro cosa fossero e a quale distanza si trovassero gli oggetti del catalogo e per cercare di chiarire la situazione, il 26 aprile 1920 nell’auditorium dello “Smithsonian Museum of Natural History” di Washington fu organizzato il Grande Dibattito.
Gli astronomi Harlow Shapley e Heber Curtis si interrogarono in merito alla reale natura delle galassie e sulle dimensioni dell'Universo osservabile. La questione fondamentale del dibattito era se le nebulose distanti fossero delle piccole parti della nostra galassia, la Via Lattea, o fossero realmente delle grandi entità distinte, esterne alla nostra galassia.
Shapley riteneva che la Via Lattea costituisse la totalità dell'Universo, mentre Curtis sosteneva che Andromeda, e altre nebulose dalle caratteristiche simili, fossero delle entità separate dalla Via Lattea, e le denominò "Galassie" o "Universi-isola". Gli sviluppi successivi hanno assodato che la Via Lattea è solo una delle centinaia di miliardi di galassie contenute nell'Universo osservabile.
La notte del 5 ottobre 1923, Hubble fotografò M31con un tempo di posa di 45 minuti. Confrontando la lastra fotografica con precedenti esposizioni, si rese conto che una stella variava la sua luminosità nel tempo con un periodo di 31,4 giorni. Si trattava quindi di un tipo di stelle variabili chiamate Cefeidi. Questa era una scoperta molto importante, perché l’astronoma americana Henrietta Swan Leavitt aveva mostrato, nel decennio precedente, che la luminosità intrinseca di questo tipo di stelle è direttamente correlata al periodo di variazione. Leavitt era arrivata a questa conclusione dopo aver analizzato migliaia di queste stelle. Questa stella venne in seguito chiamata V1 e utilizzando la relazione periodo/luminosità, Hubble calcolò la sua distanza. Il risultato fu: M31 dista 1 milione di anni luce. Hubble inviò quindi una lettera a Shapley per comunicargli la scoperta. Dopo aver letto quanto scritto, Shapley si convinse del risultato ottenuto e, parlando con un collega, disse: “Qui c’è la lettera che distrugge il mio Universo”.
Gli astronomi hanno continuato a scoprire nuove Cefeidi, migliorando (ed aumentando) il valore della distanza; le attuali misure indicano una distanza di M31 (Andromeda) di circa 2,4 anni luce. Per confronto, la nostra galassia (Via Lattea) ha un diametro di 100.000 anni luce.
Spesso viene attribuita a Edwin Hubble la scoperta dello spostamento verso il rosso (Redshift), nonostante fin dal primo decennio del secolo scorso altri astronomi avessero già intrapreso misure del genere, notando che quasi tutte le nebulose a spirale sembravano allontanarsi dalla Terra. Tuttavia Hubble fu il primo a stabilire la relazione empirica di proporzionalità esistente fra distanza e velocità di allontanamento delle galassie.
Questa relazione è nota come legge di Hubble:
z = H0 D / c
dove zè lo spostamento verso il rosso misurato della galassia, Dè la sua distanza, cè la velocità della luce e H0è la costante di Hubble, il cui valore stimato è attorno a 67,15 km/s/Mpc.
Breve inciso: l’anno luce è una misura che indica a che distanza si trova un oggetto che viene raggiunto da un fotone in un anno; ma gli astronomi preferiscono utilizzare il parsec (o il megaparsec, Mpc), questo perché è un’unità di misura molto pratica in astronomia (per dettagli vedete qui). La legge di Hubble venne pubblicata nel 1929 e inizialmente Hubble ottenne per H0 circa 500 km/s/Mpc, un valore 7 volte maggiore di quello attualmente accettato. Dal valore di H0è anche possibile ricavare un ordine di grandezza dell'età dell'Universo: in tutti i modelli cosmologici che assumono un Big Bang infatti il tempo intercorso fra il Big Bang e l'epoca attuale è dato approssimativamente da 1/H0 = 13,7 ± 0,8 miliardi di anni. La prima valutazione di H0forniva un’età di 2 miliardi di anni circa.
Per concludere, cento anni fa Albert Einstein aveva appena pubblicato la Teoria della Relatività Generale e si cominciava anche ad ipotizzare come fosse fatto l’atomo (modello di Bohr-Sommerfeld), ma non si conosceva ancora come fosse fatto l’Universo o come veniva prodotta l’energia delle stelle, la Meccanica Quantistica stava per arrivare.




 



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210. Dinastie

July 1, 2016, 3:46 pm
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 Prima di cominciare il post, voglio ricordare che è stato pubblicato

“Il (non) Carnevale della Fisica #15”.

E’ sempre un piacere leggerlo ed è un onore poter fornire un contributo.

Per il lavoro svolto voglio ringraziare l’instancabile e poliedrica Annarita.


  


Quando si studia la matematica o la fisica del XVIII secolo i nomi che ricorrono sono ad esempio: Eulero, Gauss, Leibniz, Bernoulli, Lagrange e Laplace. Per ognuno di questi sono stati pubblicati molti lavori in diversi campi delle scienze fisiche e matematiche; sembra impossibile che una sola persona abbia potuto pubblicare così tanti scritti, e viene da pensare che esistessero più di un Eulero o più di un Gauss. Ecco, nel caso dei Bernoulli è proprio così.

La famiglia Bernoulli aveva origini in Anversa. Da qui fuggì nel 1583 per sottrarsi al massacro degli Ugonotti.

Il giovane Bernoulli (Daniel) era sempre stato fiero di discendere da una illustre famiglia di matematici. Era figlio di (Johann) un famoso matematico vivente e nipote di un altro matematico altrettanto famoso (Niklaus).

Quella sera di autunno del 1734, però, quando il padre rincasò, Daniel lo salutò porgendogli una lettera senza dir niente sul suo contenuto. Con aria perplessa, il padre la prese e vi lesse che quell’anno l’Accademia delle Scienze francese aveva deciso di assegnare a entrambi, il primo premio della competizione scientifica che veniva attribuito ai migliori scienziati dell’epoca. Il giovane Daniel pensò che a questo punto lui e suo padre si sarebbero abbracciati per la gioia, ma non fu così. Qualcosa non andava e il padre reagì con un cupo silenzio. Dopo aver finito di leggere, accartocciò la lettera e apostrofò il figlio con una raffica di accuse.

La lite degenerò, al punto che poche ore dopo aver ricevuto il prestigioso premio, il povero Daniel si trovò sbattuto fuori casa. Era appena tornato in famiglia, a Basilea, dopo 7 anni trascorsi all'Accademia Imperiale Russa di San Pietroburgo, dove nel frattempo era divenuto molto famoso.

Non ancora trentenne, infatti, Daniel Bernoulli aveva svelato il segreto dei fluidi.

Nel 1729, Daniel stava riflettendo su come misurare la pressione del sangue. A quel tempo andavano di moda i salassi, e molti pazienti morivano più per le cure che per la malattia. Misurare la pressione sembrava una buona idea per capire quando si stava esagerando. Bernoulli, pensando al sangue che schizzava verso l'alto quando veniva bucata un'arteria, si rese conto che misurando quell'altezza poteva valutare la pressione del sangue. Mise quindi a punto una cannula di vetro che veniva infilata in un'arteria del paziente: misurando l'altezza della colonnina di sangue che si formava si poteva misurare la pressione del sangue senza dissanguare lo sventurato paziente.

Misurando come cambiava la pressione in un condotto idraulico al variare della sua sezione, si rese conto che dove il condotto si restringeva, il fluido aumentava di velocità e la pressione diminuiva. Viceversa, se la velocità diminuiva, la pressione aumentava. La somma dei valori di pressione e velocità del fluido (e quindi della sua energia cinetica) rimaneva costante. Era stata scoperta l'equazione nota oggi come teorema di Bernoulli, che sta alla fluidodinamica come le equazioni di Newton stanno alla dinamica dei corpi solidi.

 

Il teorema di Bernoulliè il principio della conservazione dell'energia per i fluidi ideali in regime stazionario o in flusso laminare.

 




     

 
Jakob Bernoulli (noto anche come Jacques) (Basilea 1654 – Basilea 1705) è stato un matematico e scienziato svizzero. Era il fratello maggiore di Johann Bernoulli e lo zio di Daniel Bernoulli.Sviluppò il calcolo infinitesimale. Ha tenuto una corrispondenza con Gottfried Leibniz dai cui primi scritti sull'argomento apprese il calcolo differenziale che sviluppò nei decenni successivi, con la collaborazione del fratello, Johann, e sempre sotto la supervisione dello stesso Leibniz. I suoi primi scritti sulle curve trascendentali (1696) e isoperimetria (1700, 1701) sono i primi esempi di tali applicazioni. La sua opera principale è Ars Conjectandipubblicato postumo nel 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilità. I concetti campionamento bernoulliano, teorema di Bernoulli, variabile casuale bernoulliana e numeri di Bernoulli sono legati ai suoi lavori e nominati in suo onore. Inoltre il primo teorema del limite centrale, ovvero la legge dei grandi numeri, venne formulata da Jakob.
 
Johann I Bernoulli (o Jean I) (Basilea 1667 – Basilea 1748) è stato un matematico svizzero, uno dei più importanti scienziati della famiglia Bernoulli, fratello minore di Jakob, il capostipite della famiglia. Educò il grande matematico Euleroed è conosciuto per i suoi contributi al calcolo infinitesimale.
 
Nicolaus Bernoulli (noto anche come Niklaus o Nikolaus) (Basilea 1687 – Basilea  1759), è stato un matematico svizzero, nipote di Jakob e Johann Bernoulli. Fu uno dei primi e più importanti matematici della famiglia Bernoulli. Ottenne il dottorato con una tesi sulla teoria della probabilità. Nel 1716 ottenne la cattedra che era stata tenuta da Galileo all'Università di Padova; qui lavorò sulle equazioni differenzialie sulla geometria.
 
Nicolaus II Bernoulli (conosciuto anche come Niklaus II o Nikolaus II) (Basilea 1695 – San Pietroburgo 1726), è stato un matematico e fisico svizzero. Lavorò principalmente sulle curve, le equazioni differenziali, e la probabilità. Fu contemporaneo di Leonardo Eulero. Diede importanti contributi anche allo sviluppo della fluidodinamica. Fu fratello più anziano di Daniel Bernoulli.
 
Daniel Bernoulli(Groninga 1700 – Basilea 1782) è stato un matematico e fisico svizzero. Il suo principale lavoro fu Hydrodynamique, pubblicato nel 1738; nella sua struttura assomiglia alla Méchanique Analytique di Joseph Louis Lagrange: tutti i risultati sono conseguenza di un singolo principio, e precisamente quello di conservazione dell'energia. L'opera fu seguita da una memoria sulle teorie delle maree, alla quale, insieme alle memorie di Euleroe Colin Maclaurin, l'Accademie Royale des Sciences francese assegnò un premio: queste tre memorie contengono tutto ciò che sull'argomento venne scritto tra i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica di Isaac Newton e le investigazioni di Pierre-Simon Laplace. Statistica: Daniel Bernoulli fu anche autore nel 1738 di Specimen theoriae novae de mensura sortis(Esposizione di una nuova teoria di misura del rischio), in cui il paradosso di San Pietroburgoè considerato la base dell'avversione al rischio, il premio e l'utilità. Uno dei primi tentativi di analizzare un problema di statistica utilizzando dati tenuti nascosti è stata l'analisi di Bernoulli del 1766 sulla diffusione del vaiolo e i relativi dati di mortalità, per dimostrare l'efficacia del vaccino. Fisica: Daniel Bernoulli fu uno dei primi scienziati a formulare la teoria cinetica dei gas ed applicare la legge di Boyle. Egli lavorò con Eulero sull'elasticità e sulla formulazione dell'equazione di Eulero-Bernoulli. Il principio di Bernoulliè largamente utilizzato in aerodinamica e fluidodinamica.
 
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
 

 






 


Michael Guillen - Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo

 


 
 -  Niklaus Bernoulli– commerciante
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    211. Il limite del cerchio

    July 10, 2016, 2:43 pm
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    Fino al 1954, fuori dall’Olanda, pochi matematici conoscevano i lavori di Maurits Cornelis Escher  (Leeuwarden, 1898 – Laren, 1972), ma quell’anno l’International Congress of Mathematicians (ICM) venne svolto ad Amsterdam, e per l’evento venne organizzata una mostra delle opere di Escher dove erano esposte anche le stampe relative alla simmetria.

     

    1938, Giorno e Notte





    Al congresso partecipava anche Harold Coxeter (Londra, 1907 – Toronto, 2003) grande matematico inglese, che svolse la maggior parte della sua attività nel campo della geometria. Coxeter acquistò due stampe e ne approfittò per cominciare un fecondo scambio di idee, che proseguì anche negli anni successivi. In seguito Escher ebbe a dire che “… ho finito per ritrovarmi nel regno della matematica. Pur essendo totalmente privo di una formazione nel campo delle scienze esatte, mi sembra di avere più cose in comune con i matematici che con i miei colleghi artisti.” Nel 1957 Coxeter scrisse a Escher chiedendogli il permesso di utilizzare due dei suoi disegni per illustrare uno scritto a cui stava lavorando, dedicato alla simmetria dei cristalli. L’esperienza dell’artista risaliva alle sue frequenti visite all’Alhambradi Granada, in Spagna, un tempio della tassellatura geometrica. 





    Dopo anni spesi a sviluppare in modo quasi ossessivo il tema delle divisioni regolari del piano, sentiva il desiderio di liberarsi del piano euclideo e creare una nuova rappresentazione dell’infinito. Un giorno del 1958, una lettera di Coxeter diede “una grande scossa” alla creatività di Escher. Quando vide alcune illustrazioni contenute nella busta, ebbe l’illuminazione che attendeva da tempo: alcune figure matematiche rappresentavano la simmetria non-euclidea nel piano iperbolico e sulla sfera. 



     

    Escher cominciò subito a lavorare e, poco dopo, il contenuto della lettera si trasformò nella prima incisione su legno. La chiamò Limite del cerchio I e scrisse: “La ritengo la tassellatura del tipo con tassellature sempre più piccolepiù bella che abbia mai realizzato.” 



     

    Se avete occasione di passare da Milano quest’anno, potete approfittarne per visitare a Palazzo Reale la mostra dedicata a Escher. 

     










     

    M.C.Escher, Esplorando l’infinito, Garzanti

    Siobhan Roberts, Il re dello spazio infinito, Rizzoli

     
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    212. Bellezza e Verità

    July 30, 2016, 3:34 pm
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     “non ci sono più maestri, ci sono solo esperti del settore”

    Armando(Enzo Jannacci)

    La bellezza del somaro (2010)

    Si dice che la bellezza stia negli occhi di chi guarda, o, come ebbe a dire David Hume: "La bellezza delle cose esiste nella mente di chi le contempla". E nella mente degli scienziati, la bellezza assume un significato profondo, spesso reale e a volte “complesso”.

    Capita spesso a fisici e matematici di ricercare nelle loro teorie la bellezza, e di riuscire a trovarla in una qualche forma di simmetria, altre volte in una forma particolarmente semplice o infine in un’espressione elegante o equa. Se leggete che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria(terzo principio della dinamica), anche se di fisica ne capite poco, potete comunque percepire che questa affermazione sia corretta a priori.

    Tra i tanti libri che parlano di questo argomento, ce ne sono 2 che mi sento di consigliare in modo particolare:

    P.A.M. Dirac, La bellezza come metodo, ed.Indiana

    S. Chandrasekhar, Verità e bellezza, ed.Garzanti

    Di Dirac(premio Nobel per la fisica nel 1933assieme a Schrödinger) se ne è parlato in un precedente post, qui mi limiterò ad esporre la famosa equazione scritta sulla targa che è stata posta, il 13 novembre 1995, all’interno dell’Abbazia di Westminster a Londra nei pressi di quella di Isaac Newton.



     

    L'equazione di Diracè una formulazione relativistica dell'equazione di Schrodinger (che in meccanica quantistica determina l'evoluzione temporale dello stato di un sistema, ad esempio di una particella, di un atomo o di una molecola), ammette, però, soluzioni ad energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano tali stati ad energia negativa. Dopo lo sviluppo della teoria quantistica dei campi gli stati ad energia negativa furono identificati con le antiparticelle, con l'introduzione di un nuovo numero quantico (che vale +1 per le particelle e -1 per le antiparticelle), in modo da risolvere alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac. Senza rendersene conto aveva scoperto l'antimateria.

    È stata formulata nel 1928 ed è un passo fondamentale per l’unificazione di meccanica quantistica e relatività ristretta. Ha consentito di spiegare la struttura fine dello spettro dell'atomo di idrogeno e il fattore giromagnetico dell'elettrone.

    Riporto infine un suo pensiero:

    “La bellezza matematica è una qualità che non può essere definita, non più di quanto la bellezza possa essere definita per l'arte, ma chi studia matematica, di solito, non ha difficoltà ad apprezzarla.” 

    Nota: PAM sta per Paul Adrien Maurice, mentre OM per Order of Merit.



    “Che una scoperta matematica trovi la sua esatta replica nella natura, mi convince ad affermare che la bellezza è ciò a cui la mente umana risponde nei suoi recessi più profondi e segreti. Che la semplicità è l’impronta del vero e che la bellezzaè lo splendore della verità.”      

    Verità e bellezza, Chandrasekhar op. cit.

    Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 – 1995) è stato un fisico, astrofisico e matematico indiano naturalizzato statunitense. Uno dei maggiori contributi da lui forniti all'astrofisica è il "Limite di Chandrasekhar". Esso costituisce un valore critico nelle scale di grandezza delle stelle nane bianche. In particolare il Limite di Chandrasekhar(pari a 3·1030 kg, circa 1,44 volte la massa solare) segna il limite superiore della massa di una nana bianca. Una stella non rotante che, al termine della propria permanenza nella sequenza principale, nella fase cioè di bilanciamento tra forza gravitazionale e pressione di degenerazione degli elettroni dovuta alla fusione degli atomi di idrogeno, è destinata a collassare in una nana bianca, se al momento del collasso gravitazionale la massa del nucleo è al di sotto del Limite di Chandrasekhar. Se, invece, la massa del nucleo supera il Limite di Chandrasekhar, essa collasserà in forma di una stella di neutroni o di un buco nero. Subrahmanyan è stato premio Nobel per la fisicanel 1983.

    Suo zio, sir Chandrasekhara Venkata Raman (1888 – 1970) è stato un fisico indiano, premio Nobel per la fisica nel 1930 per i suoi studi sulla diffusione della luce e per la scoperta dell'effetto Raman, che da lui prende il nome. Nel 1921 cominciò gli esperimenti sulla diffusione anelastica della luce. La spettroscopia Ramanè basata su questo fenomeno.

    http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/stars/lifecycle/
    Nel 1975 Chandrasekhar tenne una conferenza dal titolo  “Shakespeare, Newton e Beethoven, ovvero modelli di creatività” raccolta nel libro “Verità e bellezza – 1990” 



     

    Domanda: un computer potrebbe riconoscere la bellezza?



    Non sempre la bellezza matematica traspare nello stesso modo, come si può verificare in questi 2 esempi:



     
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    213. Bellezza e Verità, Su e Giù, Incanto e Strano

    August 4, 2016, 2:49 pm
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    Three quarks for Muster Mark!

    Sure he has not got much of a bark

    And sure any he has it's all beside the mark.

    James Joyce, Finnegans Wake

     

    Avete 2 sacchetti di palline: il primo sacchetto contiene palline di colore Scarlatto, il secondo di colore Giallo.

    Ad ogni colore corrisponde un numero che viene stampato sulla pallina. Prendiamo ora 3 palline: 2 di un colore e 1 dell’altro.

    Domanda, di che numero devono essere le varie palline per avere come somma:

    1se si prendono 2 palline Scarlatte e 1 Gialla,

    0se si prendono 2 palline Gialle e 1 Scarlatta?

    La risposta si può ottenere risolvendo le 2 equazioni:

    2S+ G = 1       e        S + 2G = 0

    se si prende 2 volte la prima equazione e si sottrae la seconda, si ottiene:

    3S = 2    cioè    S= 2/3

    sostituendo in una delle 2 equazioni il valore di Ssi ha G= -1/3.

    Essendo un sistema di 2 equazioni in 2 incognite, questa è l’unica soluzione.

    Una domanda simile se la devono essere posta anche alcuni fisici come Murray Gell-Mann, George Zweig e Yuval Ne'eman, alla fine degli anni ’50. Nel loro caso 1e 0 erano rispettivamente la carica del Protone e quella del Neutrone.

    Nel loro caso le palline vennero chiamate quark: rispettivamente Su(quelle con carica elettrica 2/3) e Giù(quelle con carica elettrica -1/3).

    Ma non è finita qui. Prendendo 3 quark Su si ottiene una particella di carica 2; mentre, con 3 quark Giù, si ottiene una particella di carica -1. 

    Queste particelle esistono:   Delta ++  e   Delta –

     


    I quark sono fermioni, chiamati così in onore di Enrico Fermi. Sono particelle, che seguono la statistica di Fermi-Dirac, dotate di spin semintero (1/2, 3/2, 5/2, ...). Sono raggruppati in 3 generazioni, ognuna composta da 2 leptonie 2 quark (più le loro antiparticelle dette antiquark). In totale si originano in questo modo 6 tipi o “sapori” di quark: la prima generazione è composta dai quark up e down; la seconda include i quark charm e strange; della terza fanno parte i quark top e bottom (che inizialmente vennero chiamati true e beauty). Ossia su, giù, incanto, strano, alto, basso.










    In accordo con il modello standard della fisica delle particelle, il quark up ed il quark down sono i costituenti fondamentali dei nucleoni:
    il Protone contiene 2 quark upe 1 quark down, mentre il Neutrone contiene 1 quark up e 2 quark down; è da notare che la maggior parte della massa nei nucleoni proviene dall'energia del campo gluonico che tiene insieme i quark, e non dalle masse dei quark stessi.


    https://it.wikipedia.org/wiki/Particella_elementare
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    214. Suite: Judy Blue Eyes - The islanders puzzle

    August 10, 2016, 1:17 pm
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    I buoni matematici riescono a vedere le analogie.
    I grandi matematici riescono a vedere le analogie tra le analogie.
    Stefan Banach

    C’è un isola con 1000 abitanti, 100 dei quali hanno gli occhi azzurri, mentre i restanti 900 hanno gli occhi marroni. Sull’isola non ci sono specchi ed è assolutamente vietato parlare del colore degli occhi. Inoltre se una persona scopre il colore dei propri occhi, deve abbandonare l’isola immediatamente.
    Un giorno, un esploratore arriva sull’isola ed è invitato a tenere un discorso a tutta la popolazione e, essendo all’oscuro delle usanze locali, egli commette un passo falso: “dopo questi lunghi mesi di viaggio in mare, è veramente un piacere rivedere persone con gli occhi blu”. Cosa succede dopo?

    Preciso che gli abitanti dell’isola, pur avendo usanze strane, sono persone molto logiche e non disobbediscono mai.

    Soluzione

    Per risolvere il problema, cominciamo con la variante di un’isola con 1 sola persona con gli occhi blu (che chiameremo A).
    Quindi A viene a sapere dalle parole dell’esploratore che è presente almeno una persona con gli occhi blu. Siccome non vede nessuno con queste caratteristiche, A conclude che deve essere lui. Subito dopo abbandona l’isola.
    Supponiamo ora che le persone siano 2 (A e B), entrambe con gli occhi blu.
    Avede che B ha gli occhi blu e viceversa. Visto che l’altro non se ne va il primo giorno, capiscono che anche loro hanno lo stesso colore. Quindi Ae B lasciano l’isola il secondo giorno. Nota: se solo 1 avesse gli occhi blu, il caso sarebbe banale.

    Procedendo con questo ragionamento, se gli isolani con occhi blu sono N, per induzione, se ne andranno tutti l’N-esimo giorno.
    Nel nostro specifico caso, i 100 abitanti se ne andranno il 100-esimo giorno.

    Subito dopo i restanti 900 abitanti con gli occhi marroni realizzano cosa è successo e abbandonano l’isola anche loro.

    Tutto chiaro?

    Ammesso che sia riuscito a convincervi, il dubbio che resta è che l’esploratore non sembra introdurre nuove informazioni. Eppure lo fa, come viene spiegato dal concetto di  differenti ordini di conoscenza. O meglio, con il concetto di Conoscenza comune.
    In logica, la conoscenza comune è un particolare tipo di conoscenza all'interno di un gruppo di giocatori. Esiste conoscenza comune di p in un gruppo di giocatori G, quando tutti i giocatori all'interno di Gconoscono p, sanno che tutti conoscono p, sanno che tutti sanno che tutti conoscono p e così via all'infinito.







    In modo analogo, Pier Paolo Pasolini nel film-documentario “Comizi d'amore” diretto nel 1965, “aggiunge” all’amore tra Tonino e Graziella, la coscienza del loro amore.

    SCENE DA UN MATRIMONIO

    “Tonino e Graziella si sposano. Del loro amore sanno solo che è amore. Dei loro futuri figli sanno soltanto che saranno figli. È soprattutto quando è lieta e innocente che la vita non ha pietà. Due ragazzi italiani si sposano e in questo loro giorno tutto il male e tutto il bene precedenti ad essi sembrano annullarsi, come il ricordo della tempesta nella pace.

    Ogni diritto è crudele ed essi, esercitando il proprio diritto a essere ciò che furono le loro madri e i loro padri, non fanno altro che confermare, cari come sono alla vita, la lietezza e l'innocenza della vita. Così la conoscenza del male e del bene e la storia, che non è né lieta né innocente, si trova sempre di fronte a questa spietata smemoratezza di chi vive alla sua sovrana umiltà. Tonino e Graziella si sposano e chi sa tace di fronte alla loro grazia che non vuole sapere. E invece il silenzio è colpevole e allora l'augurio sia: al vostro amore si aggiunga la coscienza del vostro amore.”

     





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    215. Trigonometria poligonale

    August 17, 2016, 3:19 pm
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    Le funzioni trigonometriche come seno e coseno, possono essere tracciate proiettando la posizione di un punto, che si muove con moto uniforme su una circonferenza di raggio 1. Se si proietta sull’asse X si ottiene la funzione coseno, mentre proiettando sull’asse Y, si ha come risultato il seno.

    Ma cosa succede se, invece di una circonferenza, viene utilizzato un poligono regolare?

    Nell’animazione proposta da Lucas Vieira Barbosa, oltre la funzione seno, vengono mostrati altri 2 esempi di funzioni che si ottengono utilizzando quadrato ed esagono; i poligoni sono circoscritti al cerchio di raggio 1.




    Nel caso di un cerchio unitario, velocità del punto e velocità angolare coincidono. Negli altri 2 esempi mostrati si è scelto di mantenere uniforme la velocità angolare, cioè di utilizzare come argomento della funzione l’angolo rispetto all’asse delle ascisse, invece della distanza percorsa lungo il perimetro del poligono. Per questo motivo il quadrato, nelle 2 rampe, non traccia segmenti di linea retta, ma segmenti della funzione tangente.

    Non avendo la stessa simmetria del cerchio rispetto alla rotazione, le funzioni dipenderanno dall'orientamento dei poligoni.

    Nella successiva figura viene mostrata la sovrapposizione delle prime 2 funzioni:


     

    Ogni semionda della sinusoide ha come periodo pi greco, che, come noto, espresso in radianti vale 3,1415… Malgrado l’irrazionalità di tale numero, l’area della semionda vale esattamente 2. Il calcolo è semplice e veloce, anche se il risultato non è del tutto intuitivo.

     


     


    
    https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
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    216. Hilbert’s Hotel

    August 22, 2016, 2:41 pm
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    Prima o poi, in un blog che si rispetti, si deve parlare di questo paradosso. E visto che ci sono molti blog degni di rispetto, basta scrivere su un motore di ricerca alcune parole chiave, per trovare un’infinità di post che parlano di questi argomenti. Quel che faremo qui è di esporre i diversi approcci utilizzati per risolvere brillantemente le varie situazioni che si presentano di volta in volta.


    
    http://www.delcampe.net/







    Immaginate un hotel (che chiameremo hotel di Hilbert) con infinite stanze tutte occupate.
     

    Caso1 - Arriva un nuovo cliente. L’arguto albergatore pensa: non c’è problema; metto il nuovo ospite nella stanza che desidera e sposto nella stanza successiva alla loro tutti gli occupanti delle varie stanze. In questo semplice esempio, se il nuovo ospite sceglie la stanza numero 1, basterà spostare l'ospite della 1 nella 2, quello della 2 nella 3, ecc.; essendo un hotel infinito è possibile trovare una soluzione.

    Caso2 - Dopo un’ora arriva un autobus con infiniti nuovi ospiti. L’arguto albergatore pensa: basta spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, ecc.), lasciando ai nuovi arrivi tutte le camere con i numeri dispari, che sono anche esse infinite. Problema risolto.


    Ma non è finita qui.


    Caso3 - Il giorno dopo arrivano infiniti autobus (tutti numerati) ed ognuno di questi contiene infiniti passeggeri (che siedono su sedili anch’essi numerati).
    A questo punto la faccenda sembra farsi complicata, ma anche in questo caso esiste una soluzione, anzi esistono almeno 5 modi diversi di risolvere la questione:

    Modo 1

    Che i numeri primi siano infiniti, fu dimostrato da Euclide in una delle più belle dimostrazioni matematiche, e non è complicato rendersi conto che qualsiasi potenza di un primo è divisibile solo per il numero primo stesso. Per cui se poniamo i clienti attualmente residenti nelle camere con numero uguale alle potenze di 2 e i vari autobus in quelle corrispondenti alle potenze dei successivi primi. Cioè, indicando con k il numero della stanza o del sedile occupato, basta seguire questa semplice regola:

    • ospiti residenti andranno nella camera 2k  es. da camera7 a camera 128
    • primo autobus andranno nella camera 3k  es. da posto4 a camera 81
    • secondo autobus andranno nella camera 5k  es. da posto3 a camera 125
    • terzo autobus andranno nella camera 7k  es. da posto5 a camera 16807
    Questo modo ha il difetto di lasciare libere troppe camere. Ad esempio: 6, 10 e tutte le camere scomponibili in numeri primi differenti, non saranno occupate.

    Modo 2

    Nel libro “La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart” viene suggerito di iterare il procedimento utilizzato in precedenza per sistemare un solo autobus, per ogni autobus che si deve sistemare. L’inconveniente in questo caso è che ogni ospite dovrà continuare a spostarsi.

    Modo 3

    Posto k, autobus j, va in 2j (2k -1)

    • residenti, vanno nella camera 20(2k -1)        es. da camera 7 a camera 13
    • primo bus, vanno nella camera 21(2k -1)      es. da posto4 a camera 14
    • secondo bus, vanno nella camera 22(2k -1)  es. da posto 3 a camera 20
    • terzo bus, vanno nella camera 24(2k -1)       es. da posto5 a camera 144

    Modo 4

    Immaginiamo l’hotel di Hilbert come un classico hotel (ma infinito). Le infinite camere k sono posizionate lungo gli infiniti corridoi j e in infiniti livelli (o piani) p (immaginate un cubo infinito). Possiamo anche complicare ulteriormente la questione, cioè pensare che arrivino infinite persone, su infiniti autobus e per infiniti giorni. Basterà dire loro di recarsi nel corridoio corrispondente al numero del loro autobus, al livello relativo al giorno e applicare il caso 2 visto in precedenza.

    Esempio: il primo giorno, il quarto passeggero del terzo autobus, andrà a sistemarsi nella camera numero 7, del terzo corridoio (III), al livello 1 (corridoio giallo).







    Modo 5
    Per diagonali, utilizzato nella pagina di Wikipedia: “Paradosso del Grand Hotel di Hilbert”. Il metodo si capisce subito osservando l’illustrazione riportata nel post messicano: http://masciencia.org/blog/bienvenidos-al-hotel-hilbert

     

      

    Il celebre paradosso del Grand Hotelè stato inventato dal grande matematico David Hilbert negli anni ’20 e, come commentato in Wikipedia: “Questo paradosso, nonostante sia piuttosto elementare, ha contribuito, all'epoca ai matematici, ed oggi ai profani, a far comprendere la differenza profonda e sostanziale tra gli insiemi finiti e infiniti…”.

     

    Come detto all’inizio, esistono molti post che parlano di questo paradosso e sono presenti in rete anche molti interessanti video come questo di Jeff Dekofsky:








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    217. Lo pneumatico

    September 14, 2016, 2:27 pm
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    Tutto cominciò con un triciclo. Lo scozzeseJohn Boyd Dunlop (1840 – 1921) dopo essersi laureato in veterinaria, tra le altre cose, fu anche inventore e chirurgo. Nel 1867 si trasferì in Irlanda, dove, vent’anni dopo, guardando pedalare il proprio figlio su una strada sassosa, ebbe l’idea di inventare lo pneumatico. 

     



    L’anno successivo depositò il brevetto e nel 1889 fondò la società produttrice degli pneumatici Dunlop: Pneumatic Tyre and Booths Cycle Agency. Una squadra di ciclisti inglesi che montava gomme Dunlop, contribuì a rendere l’invenzione famosa nel mondo e le gomme piene furono sostituite nelle biciclette e nelle automobili.




    Due anni dopo la concessione, Dunlop fu informato ufficialmente che gli era stato revocato il brevetto in seguito a verifiche più approfondite. Era infatti emerso che già quarant'anni prima l'inventore Robert William Thomson (1822 – 1873) di Stonehaven (anche lui scozzese), aveva già brevettato un'idea analoga in Francia nel 1846 e negli Stati Uniti nel 1847. Forse Thomson era troppo in anticipo e morì a 51 anni senza riuscire a vedere i futuri sviluppi che avrebbe avuto la sua invenzione. O forse perché non era ancora stata inventata la vulcanizzazione, che serve a dare elasticità e durezza a caucciù e gomme sintetiche, rendendole insensibili alle variazioni di temperatura. Questo processo consiste sostanzialmente nel far reagire a caldo gomma e zolfo con altri catalizzatori, e fu scoperta nel 1855 dall’americano Charles Goodyear (anche lui rimasto famoso nel settore, l'azienda Goodyear Tire and Rubber Companyè stata chiamata così in suo omaggio). I legami chimici tra le catene di molecole “a ponte di zolfo”, creano un reticolo stabile, che impedisce alla gomma di rammollire e di deformarsi se la temperatura sale. A seconda della quantità di zolfo impiegato, si ottengono gomme più o meno dure.

    Ma come funziona lo pneumatico e come riesce a rimanere gonfio sotto il peso di un ciclista o quello di un automobile?

    La prima risposta è semplice: è pieno di aria compressa (o altro gas).

    Quello che è meno immediato è che atomi e molecole urtando tra loro e contro le pareti ad alta velocità riescono a “reggere” il peso di ciò che portano in giro. Questi proiettili sono molto piccoli, ma sono veramente tanti, ma tanti tanti. Non è semplice immaginare numeri simili e non approfondirò oltre l’argomento; riporto solo l’inizio del capitolo 39 “The Kinetic Theory of Gases” delle famose lezioni “The Feynman Lectures on Physics, Volume I”:






    “Innanzitutto, sappiamo che un gas esercita una pressione. Se le nostre orecchie fossero più sensibili, sentiremmo un rumore continuo. Per fortuna l'evoluzione dell'orecchio non si è sviluppata a quel punto. La ragione è che il timpano è a contatto con l'aria, e l'aria è costituita da un sacco di molecole in movimento continuo e queste sbattono contro i timpani, causando un irregolare boom, boom, boom, che non si sente solo perché gli atomi sono così piccoli, e la sensibilità dell'orecchio insufficiente per accorgersene. Il risultato di questo bombardamento perpetuo è di spingere il tamburo lontano, ma naturalmente c'è un bombardamento perpetuo uguale di atomi sull'altro lato del timpano, in modo tale che la forza netta risultante sia zero. Se dovessimo rimuovere l'aria da uno dei due lati, o modificare le quantità relative di aria, il timpano sarebbe poi spinto da una parte o dall'altra, perché la quantità di bombardamenti su un lato sarebbe superiore a quella sull’altro. A volte si prova questo effetto di disagio quando si va troppo in fretta in un ascensore o durante la fase di atterraggio di un aereo, soprattutto se abbiamo anche un brutto raffreddore (quando abbiamo un raffreddore, l’infiammazione chiude il canale che collega l'aria all'interno del timpano con l’aria esterna che attraversa la gola, in modo che le due pressioni non possono facilmente bilanciarsi)”. 


     

    Le molecole che compongono l’aria che respiriamo hanno una velocità media dell’ordine di 2000 km all’ora, anche se non riusciamo a percepirlo.

    Tornando al nostro pneumatico, se la ruota non è montata, senza schiacciarla non riusciamo a capire se è gonfia o no. Se però vogliamo utilizzarla dobbiamo gonfiarla, cioè dobbiamo aumentare la pressione al suo interno.

    L’unica formula che voglio mostrare è l’equazione di stato dei gas perfetti:

    pV = nRT


    dove le variabili sono nell’ordine: pressione, volume, quantità di sostanza, costante dei gas e temperatura assoluta.

    Nel caso dello pneumatico V,Re T di norma non cambiano, mentre p aumenta in funzione di n, cioè se si aumenta la quantità di gas, aumenta in proporzione la pressione. Facciamo qualche esempio. Per le gomme di una bicicletta una buona regola generale è gonfiare di 1 atmosfera per ogni 10 kg di peso (es: se pesi 70 kg le gonfi a 7 atm); che non è poco, se si pensa che la pressione delle ruote delle auto è compresa tra 2 e 2,5 atmosfere. Vediamo perché e poniamoci prima un paio di domande: che pressione esercita un copertone sull’asfalto e qual è l’area della sua impronta? Le risposte non sono poi così difficili.

    Primo, per essere in equilibrio, la pressione esercitatadall’asfalto sullo pneumatico deve equilibrare la pressione interna, per cui 7 atm per la bici e 2,2 per l’auto.

    Secondo, la pressione si ottiene come forza per unità di superficie, p = F/S, e ipotizzando una massa di 70 kg (bici + uomo) e 1400 kg (auto + uomo), si ottiene che con le pressioni scritte sopra le relative superfici sono:

     



    In questo sito potete trovare come varia l’impronta dello pneumatico in relazione alla pressione.



          

    In fisica psiè l'acronimo di pound per square inch, che significa libbre per pollice quadrato, ed è l'unità di misura della pressione nel sistema anglosassone.

    1 atm  = 14,69 psi  = 760 torr  = 760 mmHg   = 10,33 mH2O  = 101325 Pa  = 1,013 bar   = 103,32 kgf/m²    = 1,0332 kgf/cm²   = 0,101325 N/mm²


    Essendo inversamente proporzionali, aumentando la pressione si diminuisce l’area dell’improntalasciata sull’asfalto e viceversa. Per questo motivo si sgonfiano leggermente le gomme per aumentarne l’aderenza in caso di nevicate e si dovrebbe  aumentare la pressione d'estate di 0,2 - 0,3 bar quando si è a pieno carico.



    Esistono semplici esempi di pressioni molto elevate, come un chiodo sull’asfalto che fora un copertone o la pressione esercitata dal tacco a spillo di una scarpa (di una donna di 50 kg), che arriva a superare le 100 atmosfere.

     










     
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    218. 1, 2, 3, tanti

    September 24, 2016, 4:43 pm
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    George Gamow (Odessa, 1904 – Boulder, 1968), è stato un fisico, cosmologo e divulgatore scientifico russo naturalizzato statunitense. Fu un sostenitore della teoria del Big Bang, e nei suoi lavori predisse l'esistenza della Radiazione cosmica di fondo. Gamow era una persona spiritosa, e quando con Ralph Alpher scrisse il fondamentale articolo sulla cosmogenesi, volle aggiungere il nome di Hans Bethe, così l’articolo fu pubblicato col nome di teoria di Alpher-Bethe-Gamow. Fu anche un brillante divulgatore scientifico; un suo famoso libro “One, Two, Three...Infinity” inizia raccontando che gli Ottentotti (popolazione indigena dell’Africa australe, così chiamata dagli Olandesi) non avevano nel loro vocabolario nomi per indicare i numeri superiori al 3. Quando qualcuno chiedeva ad uno di loro quanti figli avesse, e se il numero era maggiore di 3, l’indigeno rispondeva “tanti”. Più o meno la stessa cosa succede con l’apprendimento scolastico della Geometria. Dopo aver definito il punto e la retta si studiano le figure piane (come quadrati, triangoli e circonferenze), per poi passare ai solidi. Cioè si arriva a contare fino a 3 dimensioni. Per lo studio di oggetti in spazi di dimensione superiore, si parla genericamente di iperspazi (con tante dimensioni).

    Si è già parlato in precedenti post di questi argomenti (es.: 154. I (Noti) Solidi Platonici) qui arriveremo a calcolare gli iper-volumi di Tetraedri in qualsiasi dimensione. Partiamo dal punto, che oltre a essere definito negli Elementi di Euclide come ciò che non ha parti, ha anche dimensione zero. Ora prendiamo un secondo punto e congiungiamolo al primo con un segmento di retta; abbiamo ottenuto così un ente geometrico con 1 sola dimensione. Prendiamo poi un terzo punto (esterno alla retta) e colleghiamolo con i 2 precedenti punti; otterremo così un triangolo con 3 lati e 3 vertici (2 dimensioni). Continuando ad aggiungere punti, si costruisce il tetraedro in 3 dimensioni, e poi 4, 5, ecc. Il numero di elementi che compongono i vari enti geometrici, hanno una struttura corrispondente a quella del Triangolo di Tartaglia (o di Pascal):



    Passiamo ora al calcolo dei “Volumi”.

    I vari punti verranno sempre addizionati, posizionandoli in modo tale che, scegliendo 3 punti (vertici) a caso, si ottengano sempre triangoli equilateri.


    In figura è rappresentato un triangolo equilatero e possiamo pensare di essere partiti con il punto in basso a sinistra, abbiamo poi aggiunto quello in basso a destra ed infine il punto in alto. Se congiungiamo il vertice superiore con il centro della base, otteniamo l’altezza “h” relativa alla base. Il punto d’incidenza delle 3 altezze viene chiamato baricentro; mentre la distanza tra centro della base e baricentro viene chiamata apotema. Allo stesso modo possiamo procedere per la costruzione del tetraedro. L’apotema del triangolo vale 1/3 dell’altezza, mentre per il tetraedro il rapporto è 1/4.
    Più in generale il Teorema di Commandinostabilisce che:

    Il baricentro dell'ipertetraedro appartiene alle mediane e le divide in parti che stanno fra loro nel rapporto 1 : n.


    Federico Commandino (Urbino, 1509 – Urbino, 1575) è stato un matematico ed umanista italiano, uno dei maggiori traduttori delle opere dei grandi matematici dell'antichità.


    Le varie altezze si possono calcolare con semplici passaggi matematici, reiterando il Teorema di Pitagora; ogni volta si usa lo spigolo come ipotenusa, mentre per cateti si definiscono l’altezza che dobbiamo ricavare e la distanza vertice/baricentro della base. Facciamo 2 esempi:
    1) per calcolare l’altezza di un triangolo equilatero usiamo come ipotenusa il lato e come “cateto noto” il semilato (che corrisponde alla distanza vertice/baricentro del lato);
    2) l’altezza del tetraedro si calcola utilizzando come “cateto noto” <l’altezza del triangolo – il suo apotema> ed essendo che l’apotema vale 1/3 dell’altezza, il cateto risulta 2/3 di quest’ultima.

    Moltiplicandole di volta in volta per i “volumi” calcolati nei passaggi precedenti e dividendo per (n+1), si ottengono i volumi delle corrispondenti dimensioni successive:


    Questa formula permette di calcolare il Volume di un Ipertetraedro di spigolo s in ndimensioni.
    In tabella sono riportate altezze e volumi, con spigolo s di valore unitario:


















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    219. Il teorema di Pick

    October 2, 2016, 1:06 pm
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    Conoscete il teorema di Pick? E’ un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere. Malgrado la sua semplicità, al primo approccio lascia sempre un po’ stupiti.

    L'area A di un poligono, i cui vertici sono punti di un reticolo, può essere calcolata tramite la formula:

    A  =  i  + p/2  - 1

    dove irappresenta il numero di punti a coordinate intere interni al poligono, mentre pil numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

     
    Ad esempio, il valore dell’area rappresentata nella figura (presa dal sito Matem@ticaMente) è 5,5.



    Questo pentagono ha infatti un numero di punti interni i = 3  e un numero di punti lungo il perimetro p= 7, l'area sarà quindi:

    A  =  3  +  7/2  - 1  =  5,5


    Il teorema di Pickè uno dei “secondi” piatti che potete trovare nel libro di Mauappena uscito, insieme ad una trentina di antipasti, primi e dessert: Matematica in pausa pranzo.





    Georg Alexander Pick (10 Agosto 1859 – 26 Luglio 1942) nato a Vienna, è stato un matematico, laureatosi in matematica e fisica all’Università di Vienna nel 1879 (anno di nascita di Albert Einstein). Dimostrò il teorema nel 1899. All’età di 82 anni, il 13 luglio 1942 venne deportato nel campo di concentramento di Theresienstadt dove morì due settimane dopo. Nel 1910, come membro della commissione che avrebbe dovuto nominare i nuovi professori dell’Università di Praga, Pick indicò anche Einstein, che in seguito venne prescelto e si trasferì a Praga nei primi mesi del 1911. Durante le lunghe conversazioni con Einstein, Pick segnalò che gli appropriati algoritmi per pervenire ad una teoria relativistica della gravitazione, potevano forse trovarsi nell’opera di Ricci Curbastro. Tuttavia, il suggerimento di Pick rimase momentaneamente inascoltato da Einstein, che tornò in seguito sull’argomento quando gli fu riproposto dal matematico e amico Marcel Grossmann (si veda Abraham Pais“Sottile è il Signore”).

     

    Vediamo ora un’applicazione del teorema di Pick.

    Prendiamo la retta y =-x + n   e suddividiamo l’area formata con i 2 assi in n triangoli come riportato in figura:


    Ovviamente, i due triangoli prossimi agli assi non contengono punti al loro interno, ma solo lungo il perimetro (n+ 2). E’ anche semplice verificare che gli ntriangoli hanno tutti la stessa area (n/ 2). Possiamo quindi dimostrare che, per nprimo, tutti i triangoli contengono lo stesso numero di punti ((n – 1) / 2).

     



     
    http://www.lanostra-matematica.org/2011/04/geopiani-poligoni-e-teorema-di-pick.html





     
    Georg Pick, “Geometrisches zur Zahlenlehre”, Sitzungber. Lotos, Naturwissen Zeitschrift,Prague, Volume 19 (1899) pages 311-319.
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