Nel post precedente si sono affrontati diversi temi legati al concetto di simmetria e questi argomenti hanno portato a porre domande di questo tipo: - Quanti sanno che cosa è un gruppo? O che significa l'affermazione:
"Le operazioni che lasciano invariata una figura soddisfano a condizioni che permettono di definire un gruppo di trasformazioni."
- E' proprio vero che da uno stato instabile un sistema degenera in uno stabile e non simmetrico? Anche questa è un'affermazione che fa intuire che dietro la simmetria c'è qualcosa, ma cosa?
- "Il termine “locale” può far pensare a un dominio modesto, ma in realtà il requisito indica un vincolo ben più rigoroso."perché?
- La lagrangiana appare come oggetto chiave. Si riesce a darne una definizione intuitiva? - "Il motivo di questo è che per rendere invariante una teoria rispetto a una trasformazione “locale”, si deve aggiungere un nuovo elemento: unaforza." Che significa?
- La rottura spontanea della simmetriaè una cosa che si verifica nello sviluppo della teoria, o ad un certo punto dello spazio tempo, e cosa riguarda?
La simmetria di cosa? Dà un po' sui nervi sapere che sia coinvolta in tanti sviluppi della fisica teorica.
- Non sapevo che la teoria del ferromagnetismo fosse uno sviluppo degli ultimi 50 anni, oppure non so che cosa è il ferromagnetismo.
- Emmy Noetherè una donna! Forse si dovrebbe dire "teorema dellaNoether"?
Probabilmente non riuscirò a rispondere a tutte queste domande, ma integrerò quanto detto nel precedente post con alcuni paragrafi tratti da diverse fonti, e per cominciare (a chi volesse approfondire) consiglio due libri:
1) Vincenzo Barone – L’ordine del mondo, Bollati Boringhieri, 2013
di cui si può trovare un estratto in google books:
2) Sylvie.Braibant et al. - Particelle e interazioni fondamentali, Springer, 2012
testo universitario aggiornato ed esaustivo.Altre informazioni sono state estratte dai diversi siti riportati nel post.
---- ---- Dal libro di Barone – Capitolo 1 ---- ----
Le simmetrie cui pensiamo immediatamente sono la simmetria bilaterale (quella di una farfalla) o la simmetria radiale (un fiore o una stella marina).
In fisica, le simmetrie sono qualcosa di più profondo: sono proprietà di invarianza delle leggi di natura. Quando si parla di “simmetria”, si intende dire che le leggi fisiche che governano la dinamica di un sistema rimangono immutate se si effettua una trasformazione di quel sistema, o si cambia il punto di vista da cui lo si osserva.
Quando le velocità dei corpi e dei sistemi di riferimento sono paragonabili alla velocità della luce, le trasformazioni corrette – quelle più generali, di cui le trasformazioni di Galileo rappresentano un’approssimazione alle basse velocità – sono le trasformazioni di Lorentz, che sono alla base della teoria della relatività.
Le trasformazioni di Lorentz cambiano anche il tempo, che è quindi relativo al sistema di riferimento.
Tutte le leggi della fisica sono invarianti rispetto all’insieme di trasformazioni costituito dalle traslazioni, dalle rotazioni e dalle trasformazioni di Lorentz.
Quelle menzionate finora sono trasformazioni continue che possono variare con gradualità e assumere qualunque valore.
Simmetrie globali e simmetrie locali
Alcune trasformazioni di simmetria non dipendono da dove o da quando, vengono effettuate, cioè sono uguali in tutti i punti dello spazio-tempo. Si parla, in questo caso, di trasformazioni e di simmetrie globali.
E’ possibile immaginare anche delle simmetrie locali, rispetto atrasformazioni che variano spazialmente e temporalmente. Una trasformazione di fase, per esempio, è locale se la funzione d’onda viene ruotata di un angolo diverso a seconda della posizione della particella e dell’istante in cui si esegue la rotazione.
Le simmetrie rispetto a trasformazioni interne continue e locali sono chiamate simmetrie di gauge.
Ciò che rende davvero potenti le simmetrie è la teoria matematica che sta dietro di esse: la teoria dei gruppi. Fondata dal francese Evariste Galois attorno al 1830, questa teoria permette di classificare tutte le simmetrie e di studiarne in maniera sistematica le proprietà.
Un Gruppo Gè un insieme di elementi (o trasformazioni) g1, g2, g3 che deve
• essere dotato di una legge di composizione, che indicheremo con m, che ha le seguenti proprietà:– Chiusura: se g1 ∈ G e g2 ∈ G, anche m(g1, g2) ∈G– Associativa: m(g1,m(g2, g3)) = m(m(g1, g2), g3)• contenere i seguenti elementi:
– L’identità e, tale che m(e, g) = m(g, e) = g, ∀g ∈ G– L’inverso g−1, tale che m(g−1, g) = m(g, g−1) = e, ∀g ∈ GUn gruppo G è detto commutativo o abelianose ∀{g1, g2} ∈ G
si ha m(g1, g2) = m(g2, g1).Il gruppo delle traslazioni o il gruppo delle rotazioni attorno ad un asse sono abeliani, mentre il gruppo che contiene tutte le possibili rotazioni non è abeliano.
Simmetrie esatte e simmetrie rotte
L’importanza e il fascino delle simmetrie non devono trarre in inganno:
un mondo perfettamente simmetrico sarebbe privo di interesse e di fenomeni significativi.
La trama dell’universo è il risultato tanto delle simmetrie, quanto della loro rottura.
Mentre tutte le simmetrie esatte sono esatte allo stesso modo, ogni simmetria rotta è rotta a modo suo. Le simmetrie esatte sono poche, le altre sono rotte, in vari modi e in misura diversa.
Ma come si fa in concreto a stabilire se una simmetria è esatta o è rotta?
Tutte le teorie fondamentali di cui disponiamo hanno la stessa struttura generale, inventata nella seconda metà del Settecento dal fisico matematico Joseph-Louis Lagrange.
Nella formulazione lagrangiana, la dinamica di un sistema fisico è descritta da una quantità, l’azione, legata all’energia del sistema.
Le equazioni dinamiche si ottengono imponendo che l’evoluzione temporale sia tale da rendere l’azione la più piccola possibile (principio di minima azione).
Poiché le leggi fisiche di una teoria derivano dall’azione, affinché esse posseggano una simmetria, cioè conservino la stessa forma in seguito a certe trasformazioni, è sufficiente (e necessario) che l’azione della teoria non cambi per effetto di quelle trasformazioni. Verificare l’esistenza di una simmetria è quindi piuttosto facile: basta controllare che l’azione sia invariante.
Classificazione delle simmetrie
Le simmetrie possono essere suddivise in due grandi gruppi:
1 - spaziotemporali, a cui corrispondono proprietà d'invarianza dell'intero spaziotempo;
2 - interne, a cui corrispondono proprietà locali (cioè proprie di un determinato sistema fisico).
Le simmetrie spaziotemporali sono divise in:
1a - continue, che prevedono l'invarianza per traslazioni nello spazio, nel tempo e rotazioni attorno a un asse, a cui corrispondono (per il teorema di Noether) la conservazione della quantità di moto, dell'energia e del momento angolare, nonché le trasformazioni di Lorentz (quelle che agiscono nella relatività ristretta provocando gli effetti di ''dilatazione dei tempi'' e ''contrazione delle lunghezze'');
1b - discrete, che prevedono la simmetria CPT di cui ci occuperemo a breve.
Le simmetrie interne si dividono in:
2a - globali, che si hanno quando tutti i punti di un sistema (che può anche essere l'intero spaziotempo) sono sottoposti alla stessa trasformazione che lascia, quindi, invariate le proprietà globali del sistema, ad essa corrisponde la conservazione del numero leptonico e barionico;
2b - locali(di gauge), che si verifica quando un sistema è sottoposto a trasformazioni diverse punto per punto, ad essa corrisponde la conservazione della carica di gauge (carica elettrica, carica nucleare forte o di colore e carica nucleare debole).
Il seguente paragrafo è tratto dal sito:
invece di cercare di interpretare la fenomenologia delle forze, si ipotizzò una nuova simmetria nella natura, della cui rottura le forzesono il necessario risultato. La nuova simmetria era l’invarianza locale di gauge.
Per analizzare una più semplice simmetria di gauge, quella globale dell’invarianza rispetto alle traslazioni spaziotemporali, consideriamo un osservatore che si muove di moto rettilineo uniforme e spostiamolo lateralmente: lo spostamento non dovrà indurre cambiamenti nelle osservazioni fatte. Questa è la simmetria di gauge globale dello spazio-tempo.
Consideriamo ora una simmetria di gauge locale. In questo caso, la traiettoria che prima era rettilinea e uniforme, ora non lo sarà più; l’osservatore si troverà sballottato, soggetto a varie forze sconosciute.
Per preservare la simmetria delle leggi della natura rispetto a questo tipo di trasformazione sarà necessario che si attivi un campo (nello specifico, la gravitazione) che punto per punto rimetta le cose a posto in modo che l’osservatore continui a osservare le stesse cose. Un esempio semplice è la trasformazione di gauge da moto rettilineo uniforme a moto circolare, che produce una forza centrifugaper l’osservatore. Facciamo ora girare l’osservatore attorno a un pianeta: come gli astronauti nelle capsule spaziali, si ritroverà nella condizione di essere non soggetto a forze, proprio come lo era prima della trasformazione. In questo caso la simmetria è preservata dal campo gravitazionale del pianeta.
Ecco, nella nuova fisica le forze sono il modo con cui la natura garantisce che certe simmetrie vengano rispettate. Una completa rivoluzione copernicana!
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| asimmetrie.it - numero 11 - aprile 2011 |
Modello standard (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
Alla base della formulazione del Modello standard viene posto un principio di
simmetria fondato sulla teoria di Yang-Mills. Questo consiste nell'invarianza della teoria sotto opportune trasformazioni, dette
trasformazioni di gauge. L'invarianza di gauge garantisce la coerenza matematica e la predittività della teoria, ossia quella che tecnicamente viene definita
rinormalizzabilità.
Le interazioni fondamentali vengono rappresentate nel
gruppounitarioSU(2)×U(1)×SU(3), costituito dal prodotto di
SU(2)×
U(1)che descrive le interazioni elettromagnetiche e deboli (unificate nell'interazione elettrodebole), con
SU(3)che descrive le interazioni forti. La descrizione delle interazioni elettromagnetiche attraverso il
gruppo U(1)prende il nome di
elettrodinamica quantistica, o QED, mentre la descrizione delle interazioni forti attraverso il
gruppo SU(3) prende il nome di
cromodinamica quantistica, o QCD.
Ad ogni gruppo considerato corrispondono i
bosoni vettori, che, come già detto, sono i mediatori delle forze osservate in natura e il cui numero dipende da quello dei
generatori, che è una proprietà matematica del gruppo stesso. Al sottogruppo SU(2)×U(1) corrispondono il
fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica, ed i
bosoni W (carichi) e Z (neutro), mediatori dell'interazione debole, mentre al sottogruppo SU(3) corrispondono otto gluoni, dotati di
carica di colore.
E la Lagrangiana?
Come recita il sottotitolo del libro di Leonard Susskind, Il minimo teorico, Codice edizioni, 2014, qui potete trovare “Tutto quello che dovete sapere per fare della (buona) fisica”.
Cominciamo con un’osservazione generale sul problema principale della meccanica classica: determinare le traiettorie (o orbite) dei sistemi a partire dalle equazioni del moto. Di solito sono note 3 cose: le masse delle particelle, un insieme di forze (o una formula per l’energia potenziale) e le condizioni iniziali (coordinate e velocità). Il moto viene poi determinato in accordo con la seconda legge di Newton (F=ma).
Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono anche strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità conservate del moto con le simmetrie continue di un sistema fisico. Questo ambiente fornisce un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo commutatoritra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico. Il principio di minima azione è l’espressione più compatta delle leggi della fisica:
δA = 0
L’azione A è definita come integrale della lagrangiana: L = T - V
dove T e V sono rispettivamente Energia Cinetica e Potenziale.Ciò che bisogna conoscere per specificare L sono le masse delle particelle (per l’Energia Cinetica) e il Potenziale. Non è un caso, ovviamente, che queste siano le stesse quantità necessarie per scrivere le equazioni del moto di Newton.
Concludo con alcune considerazioni di Richard Feynman - The Feynman Lectures on Physics:
52–3 Symmetry and conservation laws
The symmetries of the physical laws are very interesting at this level, but they turn out, in the end, to be even more interesting and exciting when we come to quantum mechanics. For a reason which we cannot make clear at the level of the present discussion — a fact that most physicists still find somewhat staggering, a most profound and beautiful thing, is that, in quantum mechanics, for each of the rules of symmetry there is a corresponding conservation law; there is a definite connection between the laws of conservation and the symmetries of physical laws. We can only state this at present, without any attempt at explanation.
The fact, for example, that the laws are symmetrical for translation in space when we add the principles of quantum mechanics, turns out to mean that momentum is conserved.
That the laws are symmetrical under translation in time means, in quantum mechanics, that energy is conserved.
Invariance under rotation through a fixed angle in space corresponds to the conservation of angular momentum. These connections are very interesting and beautiful things, among the most beautiful and profound things in physics.
Incidentally, there are a number of symmetries which appear in quantum mechanics which have no classical analog, which have no method of description in classical physics. One of these is as follows: If ψ is the amplitude for some process or other, we know that the absolute square of ψ is the probability that the process will occur. Now if someone else were to make his calculations, not with this ψ , but with a ψ′which differs merely by a change in phase (let Δ be some constant, and multiply e iΔ times the old ψ), the absolute square of ψ′, which is the probability of the event, is then equal to the absolute square of ψ:
ψ′ = ψ e iΔ ; ∣ψ′∣2 =∣ψ∣2 (52.1)
Therefore the physical laws are unchanged if the phase of the wave function is shifted by an arbitrary constant. That is another symmetry. Physical laws must be of such a nature that a shift in the quantum-mechanical phase makes no difference. As we have just mentioned, in quantum mechanics there is a conservation law for every symmetry. The conservation law which is connected with the quantum-mechanical phase seems to be the conservation of electrical charge. This is altogether a very interesting business!
E infine una breve nota sul ferromagnetismo.
Nel caso del ferromagnetismo il fenomeno è più complesso e non esiste una spiegazione classica. Sono ancora presenti dei momenti magnetici intrinseci che vengono orientati concordemente al campo esterno, solo che in questo caso basta un campo anche debole per produrre un orientamento molto forte. In particolare si immagina che al suo interno il materiale ferromagnetico sia organizzato in domini ferromagnetici. Tali domini presentano un momento magnetico definito, ma in condizioni normali l’orientazione reciproca dei vari domini è casuale e l’effetto globale piccolo o del tutto nullo. In presenza di un campo magnetico esterno, i domini si orientano progressivamente producendo un forte incremento del campo magnetico nella materia, fino a completa orientazione di tutti i domini.
Il ferromagnetismoè la proprietà di alcuni materiali, detti ferromagnetici, di magnetizzarsi molto intensamente sotto l'azione di un campo magnetico esterno e di restare a lungo magnetizzati quando il campo si annulla, diventando così magneti. Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura di Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Per il ferro, ad esempio, questa temperatura è di circa 770 °C. Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti della fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli teorici che riescono a descriverlo: il modello di Ising e il modello di Weiss, basati entrambi sull'hamiltoniana di Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse approssimazioni.
Dell’importante matematica Emmy Noether ho già parlato molte volte in questo blog ad esempio qui.
